Em uma fábrica, o lucro obtido na produção de x lapiseiras pode ser estimado pela função \mathrm{L}(\mathrm{x})=\ln (100+\mathrm{x})+\mathrm{c}, com \mathrm{L}(\mathrm{x}) em milhares de reais.
c) Estime a quantidade de lapiseiras produzidas para se obter lucro de \ 4.000,00$.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de lucro
\mathrm{L}(\mathrm{x})=\ln(100+\mathrm{x})+\mathrm{c},
em que \mathrm{L}(\mathrm{x}) está em milhares de reais. A pergunta (c) pede: estimar a quantidade de lapiseiras produzidas para se obter lucro de \$4{.}000{,}00.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função: \mathrm{L}(\mathrm{x})=\ln(100+\mathrm{x})+\mathrm{c}.
  • Unidade: \mathrm{L}(\mathrm{x}) está em milhares de reais.
  • Lucro alvo: \$4{.}000{,}00, que corresponde a \,4 (mil reais).
  • A constante \mathrm{c} não foi dada no enunciado (é um valor desconhecido).

Passo 2

Traduzir o lucro alvo para a equação a ser resolvida. Como \mathrm{L}(\mathrm{x}) está em milhares de reais e queremos \$4{.}000, colocamos
\mathrm{L}(\mathrm{x})=4.
Substituindo a expressão de \mathrm{L}(\mathrm{x}),
\ln(100+\mathrm{x})+\mathrm{c}=4.

Passo 3

Isolar a incógnita x. Primeiro subtrai-se \mathrm{c} dos dois lados:
\ln(100+\mathrm{x})=4-\mathrm{c}.
Agora usamos a definição de logaritmo natural: se \ln(y)=a então y=e^{a}. Aplicando isso,
100+\mathrm{x}=e^{\,4-\mathrm{c}}.
Finalmente isolamos \mathrm{x}:
\mathrm{x}=e^{\,4-\mathrm{c}}-100.
Explicação didática rápida sobre os passos:
  • Subtrair \mathrm{c} foi uma operação algébrica básica para deixar o logaritmo sozinho.
  • A função \ln é a função inversa da exponencial e^{(\cdot)}, por isso para “desfazer” o \ln elevamos e à potência do lado direito.

Passo 4

Interpretação prática e condição de existência. Como \mathrm{x} representa quantidade de lapiseiras, deve ser \mathrm{x}\ge0. Da expressão obtida isso exige
e^{\,4-\mathrm{c}}-100\ge0
ou seja
e^{\,4-\mathrm{c}}\ge100.
Tomando logaritmo natural,
4-\mathrm{c}\ge\ln(100)\approx4{,}605170\ldots
o que dá
\mathrm{c}\le 4-\ln(100)\approx -0{,}605170\ldots
Interpretação em palavras: se \mathrm{c} for maior que aproximadamente -0{,}60517, então já se tem \mathrm{L}(0)=\ln(100)+\mathrm{c}>4 e o lucro alvo de \$4{.}000 é atingido mesmo com x=0 (nenhuma lapiseira produzida). Se \mathrm{c}\le-0{,}60517, então a quantidade necessária é dada pela fórmula \mathrm{x}=e^{\,4-\mathrm{c}}-100 e será um número não negativo.

Passo 5

Observações sobre arredondamento e exemplos numéricos (para ver como usar a fórmula na prova):
  • Como x deve ser inteiro (número de lapiseiras), se a fórmula der um valor não inteiro, arredonda-se para cima (pegar o menor inteiro maior ou igual) para garantir que o lucro alvo seja atingido.
  • Exemplo 1: se \mathrm{c}=-1, então
\mathrm{x}=e^{\,4-(-1)}-100=e^{5}-100\approx148{,}413-100\approx48{,}413,
logo é preciso produzir pelo menos 49 lapiseiras.
  • Exemplo 2: se \mathrm{c}=0, então
\mathrm{x}=e^{4}-100\approx54{,}598-100\approx-45{,}402,
valor negativo indica que o lucro alvo já é alcançado para x=0; portanto não é necessário produzir.

Resposta

\displaystyle x=e^{\,4-\mathrm{c}}-100

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