Em uma fábrica, o lucro obtido na produção de
lapiseiras pode ser estimado pela função
, com
em milhares de reais.
c) Estime a quantidade de lapiseiras produzidas para se obter lucro de
4.000,00$.
c) Estime a quantidade de lapiseiras produzidas para se obter lucro de
Passo 1
O enunciado nos dá a função de lucro
,
em que está em milhares de reais. A pergunta (c) pede: estimar a quantidade de lapiseiras produzidas para se obter lucro de
.
em que
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Função:
. - Unidade:
está em milhares de reais. - Lucro alvo:
, que corresponde a (mil reais). - A constante
não foi dada no enunciado (é um valor desconhecido).
Passo 2
Traduzir o lucro alvo para a equação a ser resolvida. Como
está em milhares de reais e queremos
, colocamos
Substituindo a expressão de
,
Passo 3
Isolar a incógnita
. Primeiro subtrai-se
dos dois lados:
Agora usamos a definição de logaritmo natural: se
então
. Aplicando isso,
Finalmente isolamos
:
Explicação didática rápida sobre os passos:
- Subtrair
foi uma operação algébrica básica para deixar o logaritmo sozinho. - A função
é a função inversa da exponencial , por isso para “desfazer” o elevamos à potência do lado direito.
Passo 4
Interpretação prática e condição de existência. Como
representa quantidade de lapiseiras, deve ser
. Da expressão obtida isso exige
ou seja
Tomando logaritmo natural,
o que dá
Interpretação em palavras: se
for maior que aproximadamente
, então já se tem
e o lucro alvo de
é atingido mesmo com
(nenhuma lapiseira produzida). Se
, então a quantidade necessária é dada pela fórmula
e será um número não negativo.
Passo 5
Observações sobre arredondamento e exemplos numéricos (para ver como usar a fórmula na prova):
- Como
deve ser inteiro (número de lapiseiras), se a fórmula der um valor não inteiro, arredonda-se para cima (pegar o menor inteiro maior ou igual) para garantir que o lucro alvo seja atingido. - Exemplo 1: se
, então
logo é preciso produzir pelo menos
lapiseiras.
- Exemplo 2: se
, então
valor negativo indica que o lucro alvo já é alcançado para
; portanto não é necessário produzir.