Determine se as retas abaixo são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Calcule seu ponto de interseção (se existir), e o ângulo entre elas:
.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede: classificar a relação entre elas (paralelas, coincidentes, concorrentes/intersectantes ou reversas), calcular o ponto de interseção (se existir) e calcular o ângulo entre elas.
As retas fornecidas são
com parâmetro
, e
com parâmetro
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para
o parâmetro é . - Para
o parâmetro é . - Deve-se verificar paralelismo (diretores proporcionais), coincidência (mesma reta), interseção (existência de
que igualem todas as coordenadas) ou serem reversas (não se intersectam e não são paralelas). - Se houver interseção, devolver o ponto. Em seguida, calcular o ângulo entre as direções das retas.
Passo 2
Colocar cada reta na forma vetorial-ponto-direção para extrair um ponto da reta e o seu vetor diretor.
Para
:
podemos reescrever como
Logo, um ponto de
é
e o vetor diretor é
.
Para
:
pode ser reescrito como
Então um ponto de
é
e o vetor diretor é
.
Observação importante sobre interpretação: escrever
como
permite identificar o componente do vetor diretor.
Passo 3
Testar paralelismo: duas retas são paralelas (ou coincidirem) quando seus vetores diretores são proporcionais, isto é, existe
tal que
.
Tomando
e
, compare as razões das componentes:
Como essas razões não são todas iguais, não existe
comum: os vetores não são proporcionais. Portanto as retas não são paralelas nem coincidentes. Restam as possibilidades: intersectam-se (concorrentes) ou são reversas (skew).
Passo 4
Procurar interseção: igualar coordenadas das retas buscando valores de
Resolver a primeira equação para (t]:
Substituir
na segunda equação e resolver para
:
Agora verificar a terceira equação com
e
:
As duas coincidem, logo as três equações são satisfeitas simultaneamente por
e
. Portanto existe interseção.
Calcular o ponto de interseção substituindo em qualquer uma das representações (por exemplo em
com
):
Assim o ponto de interseção é
.]
Passo 5
Breve comentário didático sobre os resultados parciais (sem repetir a resposta final): encontrar
e
que satisfaçam todas as coordenadas significa que as retas se cruzam naquele ponto. O fato de os vetores diretores não serem proporcionais confirmou que não são paralelas, e a existência da solução mostrou que elas não são reversas — concretamente estão em um único ponto comum.
Passo 6
Calcular o ângulo entre as retas usando os vetores diretores. Fórmula usada: o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é dado por
onde
é o produto escalar e
é a norma (módulo) do vetor.
Aplicando aos vetores
e
:
Produto escalar:
Normas:
Portanto
Obter
(ângulo agudo entre as retas, já que
):
Valor numérico aproximado:
Resposta
Concorrentes (intersectam-se).
Ponto de interseção: .
Ângulo entre elas: .
Ponto de interseção:
Ângulo entre elas: