Determine se as retas abaixo são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Calcule seu ponto de interseção (se existir), e o ângulo entre elas:
r_{1}: x=1, y=3-s, z=5+2 s r_{2}: x=5 t-4, y=2 t+3, z=3 t-2.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede: classificar a relação entre elas (paralelas, coincidentes, concorrentes/intersectantes ou reversas), calcular o ponto de interseção (se existir) e calcular o ângulo entre elas.
As retas fornecidas são
r_{1}: x=1,\quad y=3-s,\quad z=5+2s,
com parâmetro s, e
r_{2}: x=5t-4,\quad y=2t+3,\quad z=3t-2,
com parâmetro t.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para r_{1} o parâmetro é s.
  • Para r_{2} o parâmetro é t.
  • Deve-se verificar paralelismo (diretores proporcionais), coincidência (mesma reta), interseção (existência de s,t que igualem todas as coordenadas) ou serem reversas (não se intersectam e não são paralelas).
  • Se houver interseção, devolver o ponto. Em seguida, calcular o ângulo entre as direções das retas.

Passo 2

Colocar cada reta na forma vetorial-ponto-direção para extrair um ponto da reta e o seu vetor diretor.
Para r_{1}:
x=1,\; y=3-s,\; z=5+2s
podemos reescrever como
(x,y,z)=(1,3,5)+s\,(0,-1,2).
Logo, um ponto de r_{1} é P_1=(1,3,5) e o vetor diretor é \mathbf{v}_1=(0,-1,2).
Para r_{2}:
x=5t-4,\; y=2t+3,\; z=3t-2
pode ser reescrito como
(x,y,z)=(-4,3,-2)+t\,(5,2,3).
Então um ponto de r_{2} é P_2=(-4,3,-2) e o vetor diretor é \mathbf{v}_2=(5,2,3).
Observação importante sobre interpretação: escrever y=3-s como y=3+(-1)s permite identificar o componente do vetor diretor.

Passo 3

Testar paralelismo: duas retas são paralelas (ou coincidirem) quando seus vetores diretores são proporcionais, isto é, existe \lambda tal que \mathbf{v}_1=\lambda\mathbf{v}_2.
Tomando \mathbf{v}_1=(0,-1,2) e \mathbf{v}_2=(5,2,3), compare as razões das componentes:
\frac{0}{5}=0,\qquad \frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2},\qquad \frac{2}{3}\approx 0{,}666\ldots
Como essas razões não são todas iguais, não existe \lambda comum: os vetores não são proporcionais. Portanto as retas não são paralelas nem coincidentes. Restam as possibilidades: intersectam-se (concorrentes) ou são reversas (skew).

Passo 4

Procurar interseção: igualar coordenadas das retas buscando valores de s\) e \(t\) que satisfaçam simultaneamente as três equações \[\begin{cases} 1 = 5t-4,\\[4pt] 3-s = 2t+3,\\[4pt] 5+2s = 3t-2. \end{cases}
Resolver a primeira equação para (t]:
1 = 5t-4 \;\Longrightarrow\; 5t = 5 \;\Longrightarrow\; t = 1.
Substituir t=1 na segunda equação e resolver para s:
3-s = 2(1)+3 = 5 \;\Longrightarrow\; -s = 2 \;\Longrightarrow\; s = -2.
Agora verificar a terceira equação com s=-2 e t=1:
\text{LHS: }5+2s = 5+2(-2)=5-4=1,
\text{RHS: }3t-2 = 3(1)-2=1.
As duas coincidem, logo as três equações são satisfeitas simultaneamente por s=-2 e t=1. Portanto existe interseção.
Calcular o ponto de interseção substituindo em qualquer uma das representações (por exemplo em r_{1} com s=-2):
x=1,\quad y=3-(-2)=5,\quad z=5+2(-2)=1.
Assim o ponto de interseção é (1,5,1).]

Passo 5

Breve comentário didático sobre os resultados parciais (sem repetir a resposta final): encontrar s e t que satisfaçam todas as coordenadas significa que as retas se cruzam naquele ponto. O fato de os vetores diretores não serem proporcionais confirmou que não são paralelas, e a existência da solução mostrou que elas não são reversas — concretamente estão em um único ponto comum.

Passo 6

Calcular o ângulo entre as retas usando os vetores diretores. Fórmula usada: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} é dado por
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|},
onde \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar e \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} é a norma (módulo) do vetor.
Aplicando aos vetores \mathbf{v}_1=(0,-1,2) e \mathbf{v}_2=(5,2,3):
Produto escalar:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = 0\cdot5 + (-1)\cdot2 + 2\cdot3 = -2 + 6 = 4.
Normas:
\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{0^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{1+4}=\sqrt{5},
\|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{5^2+2^2+3^2} = \sqrt{25+4+9}=\sqrt{38}.
Portanto
\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{5}\,\sqrt{38}} = \frac{4}{\sqrt{190}}.
Obter \theta (ângulo agudo entre as retas, já que \cos\theta>0):
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{\sqrt{190}}\right).
Valor numérico aproximado:
\theta \approx 1{,}2768\\ \text{rad}\approx 73{,}13^\circ.

Resposta

Concorrentes (intersectam-se).
Ponto de interseção: (1,5,1).
Ângulo entre elas: \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{190}}\right)\approx 1,2768\\ \text{rad}\approx 73{,}13^\circ.

Exercícios relacionados