2.5 pess (5) Encontre uma transformaçio linear
que tenha 1 e 2 como autovalores e tal que
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma transformação linear
que satisfaça duas condições sobre autovalores e autovetores (autoespaços). As informações dadas são:
- O autovalor
tem espaço próprio . - O autovalor
tem espaço próprio . - Quer-se uma descrição explícita de
. Tipicamente isso significa dar a matriz de em relação à base canônica de .
Passo 2
Estratégia escolhida (motivo e ideia principal).
- Se tivermos dois autovetores linearmente independentes, eles formam uma base de
. Na base formada por esses autovetores a matriz de é diagonal, com os autovalores na diagonal. - Então constrói-se a matriz
cuja colunas são os autovetores fornecidos, e a matriz diagonal com os autovalores correspondentes; a matriz de na base canônica é então .
Antes de aplicar isso, confirmamos que os dois vetores dados são linearmente independentes (para garantirinvertível).
Passo 3
Formar a matriz
com os autovetores como colunas e verificar que é invertível.
- Colunas:
(autovalor ) e (autovalor ). - Então
- Determinante de
:
Como
, os vetores são linearmente independentes e
é invertível.]
Passo 4
Escrever a matriz diagonal
dos autovalores (na ordem das colunas de
).
- Como a primeira coluna de
corresponde ao autovalor e a segunda ao autovalor , temos
Passo 5
Calcular
explicitamente (fórmula da inversa de
).
- Para
vale
- Aqui
e . Logo
Passo 6
Calcular
passo a passo.
- Primeiro
. Multiplicar por equivale a multiplicar cada coluna de pelo autovalor correspondente:
- Agora multiplicar
por :
- Calcular o produto interno antes de multiplicar pelo fator
:
- Aplicando o fator
:
Passo 7
Verificação rápida (garantir que os autovalores/autovetores ficam certos).
- Aplicando
a :
- Aplicando
a :
Ambas as verificações conferem com os autovalores dados.]