2.5 pess (5) Encontre uma transformaçio linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que tenha 1 e 2 como autovalores e tal que V(1)=[(1,1)] e V(2)=[(-1,1)]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que satisfaça duas condições sobre autovalores e autovetores (autoespaços). As informações dadas são:
  • O autovalor 1 tem espaço próprio V(1)=\operatorname{span}\{(1,1)\}.
  • O autovalor 2 tem espaço próprio V(2)=\operatorname{span}\{(-1,1)\}.
  • Quer-se uma descrição explícita de T. Tipicamente isso significa dar a matriz de T em relação à base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Estratégia escolhida (motivo e ideia principal).
  • Se tivermos dois autovetores linearmente independentes, eles formam uma base de \mathbb{R}^2. Na base formada por esses autovetores a matriz de T é diagonal, com os autovalores na diagonal.
  • Então constrói-se a matriz P cuja colunas são os autovetores fornecidos, e a matriz diagonal D com os autovalores correspondentes; a matriz de T na base canônica é então \,A = P\,D\,P^{-1}.
    Antes de aplicar isso, confirmamos que os dois vetores dados são linearmente independentes (para garantir P invertível).

Passo 3

Formar a matriz P com os autovetores como colunas e verificar que é invertível.
  • Colunas: v_1=(1,1) (autovalor 1) e v_2=(-1,1) (autovalor 2).
  • Então
P=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
  • Determinante de P:
\det(P)=1\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 1+1 = 2 \neq 0.
Como \det(P)\neq 0, os vetores são linearmente independentes e P é invertível.]

Passo 4

Escrever a matriz diagonal D dos autovalores (na ordem das colunas de P).
  • Como a primeira coluna de P corresponde ao autovalor 1 e a segunda ao autovalor 2, temos
D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular P^{-1} explicitamente (fórmula da inversa de 2\times2).
  • Para P=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} vale
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Aqui a=1,b=-1,c=1,d=1 e ad-bc=2. Logo
P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular A=PDP^{-1} passo a passo.
  • Primeiro PD. Multiplicar P por D equivale a multiplicar cada coluna de P pelo autovalor correspondente:
PD=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
  • Agora multiplicar PD por P^{-1}:
PD\cdot P^{-1}= \begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
  • Calcular o produto interno antes de multiplicar pelo fator 1/2:
\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + (-2)(-1) & 1\cdot1 + (-2)\cdot1\\[4pt] 1\cdot1 + 2(-1) & 1\cdot1 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
  • Aplicando o fator 1/2:
A = PDP^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (garantir que os autovalores/autovetores ficam certos).
  • Aplicando A a v_1=(1,1):
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =1\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Aplicando A a v_2=(-1,1):
A\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix} = 2\cdot\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Ambas as verificações conferem com os autovalores dados.]

Resposta

\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\end{pmatrix}]

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