25 patan 3e) Seja B a base canônica do \mathbb{R}^{5}, determine o polinômio característico de T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{5}\right) e verífique se T é diagonalizivel, onde
A matriz A=[T]_{H}^{B} tem entradas explicitadas acima.
Não há outras informações externas; trabalhar com essa matriz é suficiente.
Passo 2
Definição que vou usar (padrão conveniente): o polinômio característico de T é
p_{T}(\lambda)=\det(\lambda I - A),
onde I é a matriz identidade 5\times5. Essa definição produz um polinômio cujo zeros são exatamente os autovalores de T.
Passo 3
Observação da estrutura da matriz para simplificar o cálculo do determinante. Particionando linhas e colunas em \{1,2,3\} e \{4,5\}, a matriz A tem a forma em blocos
Fato útil: para uma matriz em blocos superior triangular como acima vale
\det(\lambda I - A)=\det(\lambda I_{3}-A_{11})\cdot\det(\lambda I_{2}-A_{22}).
Ou seja, o determinante separa-se no produto dos determinantes dos blocos diagonais.]
Passo 4
Calcular \det(\lambda I_{3}-A_{11}). Como A_{11} é triangular superior, o determinante de \lambda I_{3}-A_{11} é o produto das entradas da diagonal de \lambda I_{3}-A_{11}:
Multiplicando os resultados dos passos anteriores obtemos o polinômio característico:
p_{T}(\lambda)=\det(\lambda I - A)=(\lambda-3)(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+1)(\lambda+2).
Essa é a fatoração em fatores lineares (todas as raízes são reais e aparecem nos fatores acima).
Passo 7
Identificar os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
Autovalores (raízes de p_{T}): \lambda=3,\,2,\,4,\,-1,\,-2.
Cada autovalor aparece apenas uma vez no polinômio (multiplicidade algébrica igual a 1 para cada um).
Comentário didático sobre diagonalização: uma matriz (ou operador linear) em espaço de dimensão finita é diagonalizável sobre \mathbb{R} se existir uma base formada por autovetores, i.e., se a soma das dimensões dos espaços próprios for igual à dimensão total. Um resultado simples e muito útil é: autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Portanto, se um operador tem n autovalores distintos em um espaço de dimensão n, então existe um sistema de n autovetores linearmente independentes e o operador é diagonalizável.
Passo 8
Aplicando o resultado ao nosso caso: temos 5 autovalores distintos em um espaço de dimensão 5. Assim existem 5 autovetores linearmente independentes. Logo T é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Resposta
p_{T}(\lambda)=(\lambda-3)(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+1)(\lambda+2)\n T é diagonalizável (sim), pois tem 5 autovalores distintos.