25 patan 3e) Seja B a base canônica do \mathbb{R}^{5}, determine o polinômio característico de T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{5}\right) e verífique se T é diagonalizivel, onde
[T]_{H}^{B}=\left(\begin{array}{ccccc} 3 & 1 & 0 & 10 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T na base canônica B de \mathbb{R}^{5}:
[A]=[T]_{H}^{B}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 10 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 5 & 4 \\\\ 0 & 0 & 4 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Pede-se:
  • determinar o polinômio característico de T;
  • verificar se T é diagonalizável.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A=[T]_{H}^{B} tem entradas explicitadas acima.
  • Não há outras informações externas; trabalhar com essa matriz é suficiente.

Passo 2

Definição que vou usar (padrão conveniente): o polinômio característico de T é
p_{T}(\lambda)=\det(\lambda I - A),
onde I é a matriz identidade 5\times5. Essa definição produz um polinômio cujo zeros são exatamente os autovalores de T.

Passo 3

Observação da estrutura da matriz para simplificar o cálculo do determinante. Particionando linhas e colunas em \{1,2,3\} e \{4,5\}, a matriz A tem a forma em blocos
A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\[4pt] 0 & A_{22} \end{pmatrix},
onde
A_{11}=\begin{pmatrix}3&1&0\\[2pt]0&2&1\\[2pt]0&0&4\end{pmatrix},\qquad A_{22}=\begin{pmatrix}-1&0\\[2pt]1&-2\end{pmatrix}.
Fato útil: para uma matriz em blocos superior triangular como acima vale
\det(\lambda I - A)=\det(\lambda I_{3}-A_{11})\cdot\det(\lambda I_{2}-A_{22}).
Ou seja, o determinante separa-se no produto dos determinantes dos blocos diagonais.]

Passo 4

Calcular \det(\lambda I_{3}-A_{11}). Como A_{11} é triangular superior, o determinante de \lambda I_{3}-A_{11} é o produto das entradas da diagonal de \lambda I_{3}-A_{11}:
\lambda I_{3}-A_{11}=\begin{pmatrix}\lambda-3 & -1 & 0\\[2pt]0 & \lambda-2 & -1\\[2pt]0 & 0 & \lambda-4\end{pmatrix},
portanto
\det(\lambda I_{3}-A_{11})=(\lambda-3)(\lambda-2)(\lambda-4).
Explicação breve: em matriz triangular o determinante é produto das entradas diagonais; aqui as diagonais são \lambda-3,\lambda-2,\lambda-4.]

Passo 5

Calcular \det(\lambda I_{2}-A_{22}). Primeiro escrevemos
\lambda I_{2}-A_{22}=\begin{pmatrix}\lambda-(-1) & 0\\[2pt]-1 & \lambda-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda+1 & 0\\[2pt]-1 & \lambda+2\end{pmatrix}.
O determinante de uma 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é ad-bc. Assim
\det(\lambda I_{2}-A_{22})=(\lambda+1)(\lambda+2)-0\cdot(-1)=(\lambda+1)(\lambda+2).]

Passo 6

Multiplicando os resultados dos passos anteriores obtemos o polinômio característico:
p_{T}(\lambda)=\det(\lambda I - A)=(\lambda-3)(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+1)(\lambda+2).
Essa é a fatoração em fatores lineares (todas as raízes são reais e aparecem nos fatores acima).

Passo 7

Identificar os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
  • Autovalores (raízes de p_{T}): \lambda=3,\,2,\,4,\,-1,\,-2.
  • Cada autovalor aparece apenas uma vez no polinômio (multiplicidade algébrica igual a 1 para cada um).
Comentário didático sobre diagonalização: uma matriz (ou operador linear) em espaço de dimensão finita é diagonalizável sobre \mathbb{R} se existir uma base formada por autovetores, i.e., se a soma das dimensões dos espaços próprios for igual à dimensão total. Um resultado simples e muito útil é: autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Portanto, se um operador tem n autovalores distintos em um espaço de dimensão n, então existe um sistema de n autovetores linearmente independentes e o operador é diagonalizável.

Passo 8

Aplicando o resultado ao nosso caso: temos 5 autovalores distintos em um espaço de dimensão 5. Assim existem 5 autovetores linearmente independentes. Logo T é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Resposta

p_{T}(\lambda)=(\lambda-3)(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+1)(\lambda+2)\n
T é diagonalizável (sim), pois tem 5 autovalores distintos.

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