Determine se as retas abaixo são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Calcule seu ponto de interseção (se existir), e o ângulo entre elas:
r_{1}: x=1, y=t, z=1 ; \quad r_{2}: x=s, y=0, z=1

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede três coisas:
  • Determinar se as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas.
  • Calcular o ponto de interseção, se existir.
  • Calcular o ângulo entre elas.
As informações fornecidas são as equações paramétricas:
r_{1}:\quad x=1,\; y=t,\; z=1
r_{2}:\quad x=s,\; y=0,\; z=1

Passo 2

Identificar um ponto que pertence a cada reta e o vetor diretor de cada reta (como se lê uma reta paramétrica).
Lembrete rápido: uma reta em 3D na forma x=x_0+a u,\; y=y_0+b u,\; z=z_0+c u tem ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) (tomando u=0) e vetor diretor v=(a,b,c).
Aplicando isso:
  • Para r_1: quando t=0 obtemos o ponto P_1=(1,0,1). Como x e z são constantes e só y varia com t, o vetor diretor é
v_1=(0,1,0).
  • Para r_2: quando s=0 obtemos o ponto P_2=(0,0,1). Só x varia com s, então o vetor diretor é
v_2=(1,0,0).

Passo 3

Testar se as retas são paralelas ou coincidentes: isso exige verificar se os vetores diretores são proporcionais.
Verificar proporcionalidade entre v_1 e v_2:
v_1=(0,1,0),\qquad v_2=(1,0,0).
Procurar k tal que v_1 = k v_2 implicaria
(0,1,0)=k(1,0,0)=(k,0,0),
o que é impossível (a segunda componente de v_1 é 1, mas a de k v_2 é 0). Logo os vetores não são proporcionais, portanto as retas não são paralelas nem coincidentes.

Passo 4

Testar se as retas se intersectam (são concorrentes): montar o sistema obtido igualando coordenadas das duas retas e procurando [s) e t que satisfaçam todas as igualdades.
Igualando coordenadas:
\begin{cases} 1 = s &\text{(igualando as abscissas)}\\[4pt] t = 0 &\text{(igualando as ordenadas)}\\[4pt] 1 = 1 &\text{(igualando as cotas)} \end{cases}
Da primeira equação obtemos s=1\]. Da segunda obtemos \(t=0. A terceira é sempre verdadeira. Portanto existem valores s e t que tornam as coordenadas iguais; as retas intersectam-se.
O ponto de interseção é dado por qualquer das expressões avaliadas nesses parâmetros; por exemplo, em r_1 com t=0:
P=(1,0,1).]

Passo 5

Calcular o ângulo entre as retas usando os vetores diretores e o produto escalar.
Fórmula do produto escalar: para vetores a e b,
a\cdot b = \|a\|\,\|b\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles, e \|a\| é a norma (comprimento) de a.
Calcular o produto escalar:
v_1\cdot v_2 = (0,1,0)\cdot(1,0,0) = 0\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot0 = 0.
Normas:
\|v_1\|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1,\qquad \|v_2\|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1.
Então
\cos\theta = \frac{v_1\cdot v_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=\frac{0}{1\cdot1}=0.
Portanto \theta=\dfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ). Em palavras: as retas se intersectam formando um ângulo reto (são perpendiculares).

Passo 6

Resumo e interpretação final: as retas não são paralelas nem coincidentes; elas se intersectam num ponto comum e formam um ângulo de 90^\circ. Isso, em termos das opções do enunciado, significa que são concorrentes (e, mais especificamente, perpendiculares).

Resposta

Concorrentes.
Ponto de interseção: (1,0,1).
Ângulo entre elas: \theta=\dfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ).

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