Obtenha um vetor unitário normal ao plano 3 x-y+z=4. Escreva as equações paramétricas desse plano.

Passo 1

O enunciado dá o plano 3x-y+z=4 e pede duas coisas:
  • Obter um vetor unitário normal ao plano.
  • Escrever as equações paramétricas desse plano.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação do plano é 3x-y+z=4.
  • Não foi dada nenhum ponto específico do plano além da própria equação (mas podemos obter um ponto fácil escolhendo valores para x,y,z).
  • Precisamos devolver: (i) um vetor unitário normal ao plano e (ii) as equações paramétricas (vetorial e/ou componentes) que descrevem todos os pontos do plano.

Passo 2

Entender o que é o vetor normal e como obtê-lo a partir da equação do plano.
Uma equação cartesianamente escrita de um plano tem a forma
ax+by+cz=d,
onde os coeficientes a,b,c formam um vetor normal ao plano. Ou seja, o vetor
\mathbf{n}=(a,b,c)
é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano.
Aplicando isso ao nosso caso: da equação 3x-y+z=4 obtemos imediatamente o vetor normal
\mathbf{n}=(3,-1,1).
Explicação curta do porquê: se \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é qualquer vetor que fique dentro do plano, então a variação de ax+by+cz ao longo desse vetor é a v_x + b v_y + c v_z. Como todos os pontos do plano satisfazem ax+by+cz=d (constante), essa variação é zero, logo a v_x + b v_y + c v_z=0, isto é, \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, mostrando que \mathbf{n} é normal.

Passo 3

Transformar o vetor normal em um vetor unitário (normalizado).
O comprimento (norma) de um vetor \mathbf{n}=(n_x,n_y,n_z) é dado por
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}.
No nosso caso,
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}.
Portanto um vetor unitário na direção de \mathbf{n} é
\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{11}}(3,-1,1).
Observação importante: tanto \hat{\mathbf{n}} quanto -\hat{\mathbf{n}} são vetores unitários normais ao plano (apontam em direções opostas). Assim os vetores unitários normais são
\pm\frac{1}{\sqrt{11}}(3,-1,1).

Passo 4

Como obter equações paramétricas do plano — ideia geral.
Uma forma usual de escrever um plano é escolher:
  • um ponto particular P_0 que pertence ao plano;
  • dois vetores diretores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 que são linearmente independentes e que pertencem ao plano (ou seja, ambos satisfazem \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_i=0).
Então todo ponto (x,y,z) do plano pode ser escrito em forma vetorial como
(x,y,z)=P_0 + s\,\mathbf{v}_1 + t\,\mathbf{v}_2,\quad s,t\in\mathbb{R},
e as equações paramétricas são as componentes dessa expressão.
Vou construir cada um desses elementos explicitamente.

Passo 5

Escolher um ponto particular P_0 no plano.
Para encontrar um ponto fácil, basta atribuir valores simples a duas variáveis e resolver para a terceira. Um jeito simples: tomar x=0 e y=0. Substituindo na equação do plano:
3\cdot 0 - 0 + z = 4 \quad\Rightarrow\quad z=4.
Logo um ponto do plano é P_0=(0,0,4). Verificação: 3\cdot 0 - 0 + 4 = 4, OK.

Passo 6

Encontrar dois vetores diretores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 do plano (ou seja, vetores perpendiculares a \mathbf{n}).
Procuramos vetores \mathbf{v}=(a,b,c) tais que \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0. A condição é
3a - b + c = 0.
Para obter soluções simples, escolhemos valores para a,b e resolvemos c, ou vice-versa.
Escolhas convenientes:
  • Se escolher a=1 e b=3, então 3(1)-3 + c = 0 c=0. Assim podemos tomar
    \mathbf{v}_1=(1,3,0).
    Verificação: \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1 = 3\cdot1 + (-1)\cdot3 + 1\cdot0 = 3-3+0=0.
  • Se escolher a=0 e b=1, então 3\cdot0 -1 + c =0 c=1. Assim podemos tomar
    \mathbf{v}_2=(0,1,1).
    Verificação: \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2 = 3\cdot0 + (-1)\cdot1 + 1\cdot1 = -1+1=0.
Os vetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), logo geram o plano.

Passo 7

Escrever a forma paramétrica vetorial e as equações paramétricas em componentes.
Com P_0=(0,0,4), \mathbf{v}_1=(1,3,0) e \mathbf{v}_2=(0,1,1), a representação vetorial paramétrica do plano é
(x,y,z) = (0,0,4) + s(1,3,0) + t(0,1,1),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Escrevendo por componentes, isto dá as equações paramétricas
\begin{cases} x = s,\\[4pt] y = 3s + t,\\[4pt] z = 4 + t, \end{cases} \qquad s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Verificação rápida (para a cabeça do examinador): substituir as parametrizações na equação do plano para conferir que satisfaçam 3x-y+z=4.
Substituindo as componentes:
3x-y+z = 3s - (3s+t) + (4+t) = 3s-3s-t+4+t = 4,
logo a parametrização está correta.

Resposta

\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{11}}(3,-1,1)\)\n \(\displaystyle (x,y,z)=(0,0,4)+s(1,3,0)+t(0,1,1),\\ s,t\in\mathbb{R}\)\n \(\displaystyle \begin{cases}x=s,\\[4pt]y=3s+t,\\[4pt]z=4+t,\end{cases}\\ s,t\in\mathbb{R}]

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