Obtenha um vetor unitário normal ao plano 3 x-y+z=4. Escreva as equações paramétricas desse plano.
Passo 1
O enunciado dá o plano 3x-y+z=4 e pede duas coisas:
Obter um vetor unitário normal ao plano.
Escrever as equações paramétricas desse plano.
Informações relevantes fornecidas:
A equação do plano é 3x-y+z=4.
Não foi dada nenhum ponto específico do plano além da própria equação (mas podemos obter um ponto fácil escolhendo valores para x,y,z).
Precisamos devolver: (i) um vetor unitário normal ao plano e (ii) as equações paramétricas (vetorial e/ou componentes) que descrevem todos os pontos do plano.
Passo 2
Entender o que é o vetor normal e como obtê-lo a partir da equação do plano.
Uma equação cartesianamente escrita de um plano tem a forma
ax+by+cz=d,
onde os coeficientes a,b,c formam um vetor normal ao plano. Ou seja, o vetor
\mathbf{n}=(a,b,c)
é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano.
Aplicando isso ao nosso caso: da equação 3x-y+z=4 obtemos imediatamente o vetor normal
\mathbf{n}=(3,-1,1).
Explicação curta do porquê: se \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é qualquer vetor que fique dentro do plano, então a variação de ax+by+cz ao longo desse vetor é a v_x + b v_y + c v_z. Como todos os pontos do plano satisfazem ax+by+cz=d (constante), essa variação é zero, logo a v_x + b v_y + c v_z=0, isto é, \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, mostrando que \mathbf{n} é normal.
Passo 3
Transformar o vetor normal em um vetor unitário (normalizado).
O comprimento (norma) de um vetor \mathbf{n}=(n_x,n_y,n_z) é dado por
Portanto um vetor unitário na direção de \mathbf{n} é
\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{11}}(3,-1,1).
Observação importante: tanto \hat{\mathbf{n}} quanto -\hat{\mathbf{n}} são vetores unitários normais ao plano (apontam em direções opostas). Assim os vetores unitários normais são
\pm\frac{1}{\sqrt{11}}(3,-1,1).
Passo 4
Como obter equações paramétricas do plano — ideia geral.
Uma forma usual de escrever um plano é escolher:
um ponto particular P_0 que pertence ao plano;
dois vetores diretores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 que são linearmente independentes e que pertencem ao plano (ou seja, ambos satisfazem \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_i=0).
Então todo ponto (x,y,z) do plano pode ser escrito em forma vetorial como
e as equações paramétricas são as componentes dessa expressão.
Vou construir cada um desses elementos explicitamente.
Passo 5
Escolher um ponto particular P_0 no plano.
Para encontrar um ponto fácil, basta atribuir valores simples a duas variáveis e resolver para a terceira. Um jeito simples: tomar x=0 e y=0. Substituindo na equação do plano:
3\cdot 0 - 0 + z = 4 \quad\Rightarrow\quad z=4.
Logo um ponto do plano é P_0=(0,0,4). Verificação: 3\cdot 0 - 0 + 4 = 4, OK.
Passo 6
Encontrar dois vetores diretores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 do plano (ou seja, vetores perpendiculares a \mathbf{n}).
Procuramos vetores \mathbf{v}=(a,b,c) tais que \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0. A condição é
3a - b + c = 0.
Para obter soluções simples, escolhemos valores para a,b e resolvemos c, ou vice-versa.
Escolhas convenientes:
Se escolher a=1 e b=3, então 3(1)-3 + c = 0 dá c=0. Assim podemos tomar