Determine se as retas abaixo são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Calcule seu ponto de interseção (se existir), e o ângulo entre elas:
;
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede três coisas:
- Determinar se as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes (se cruzam) ou reversas (não coplanares).
- Calcular o ponto de interseção, se existir.
- Calcular o ângulo entre elas.
As informações fornecidas são:
-
. -
.
Passo 2
Transformar cada reta para forma paramétrica (isso facilita ver direção e um ponto da reta).
Para
tomo o parâmetro
tal que
Assim escrevo as coordenadas em função de
:
Escolhendo
explícito, um ponto de
é
(obtido com
) e um vetor diretor é
Para
tomo o parâmetro
tal que
Então
Um ponto de
é
(com
) e o vetor diretor é
Passo 3
Comparar os vetores diretores para decidir paralelismo/colinearidade:
Note que
. Quando um vetor diretor é múltiplo escalar do outro, as retas são paralelas ou coincidentes (isto é, têm mesma direção).
Explicação rápida (mini-aula): se
com
, então as direções coincidem. Para decidir entre “paralelas distintas” e “coincidentes” verifica-se se existe um ponto de uma reta que satisfaça a equação da outra reta.
Passo 4
Testar se são coincidentes: verificar se um ponto de
pertence a
(ou vice-versa).
Pegar
de
. Se esse ponto pertencesse a
deveria existir
tal que
Mas a equação do meio diz
, que é impossível. De modo direto vemos que
tem
constante igual a
(isto é, toda a reta está no plano
), enquanto
tem
constante igual a
(toda a reta está no plano
). Como
, as retas vivem em planos paralelos diferentes e não podem coincidir nem intersectar. Portanto são retas paralelas distintas.
Passo 5
Verificação de interseção via sistema (mostrando que não existe solução): impor igualdade das coordenadas paramétricas e ver a contradição.
Igualando de
e
:
Igualando
A segunda equação
é falsa, logo não existe par
que satisfaça as três equações simultaneamente. Conclusão: não há ponto de interseção.
Passo 6
Calcular o ângulo
entre as retas usando o produto escalar dos vetores diretores. Fórmula (mini-aula): para vetores
e
,
onde
é o produto escalar e
a norma.
Aplicando aos vetores dados:
Normas:
Então
Daí
. Interpretação: direções coincidem, ou seja, as retas são paralelas com ângulo zero entre elas.
Passo 7
Resumo (mini-recado motivacional): as contas mostram claramente que as retas têm a mesma direção mas estão em planos com valores diferentes de
, portanto são paralelas e distintas; sem interseção; o ângulo é
. Fica o lembrete: em provas, ao ver componentes de
constantes diferentes já dá para concluir rapidez que não intersectam se as direções são proporcionais — isso salva tempo.
Resposta
Tipo: retas paralelas distintas.
Ponto de interseção: não existe (não se intersectam).
Ângulo entre elas: .
Ponto de interseção: não existe (não se intersectam).
Ângulo entre elas: