Determine se as retas abaixo são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Calcule seu ponto de interseção (se existir), e o ângulo entre elas:
r_{1}: x-3=\frac{z-2}{7} ; y=4;
r_{2}: \frac{x-6}{2}=\frac{z-4}{14} ; y=8

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede três coisas:
  • Determinar se as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes (se cruzam) ou reversas (não coplanares).
  • Calcular o ponto de interseção, se existir.
  • Calcular o ângulo entre elas.
As informações fornecidas são:
  • r_{1}: x-3=\dfrac{z-2}{7},\; y=4.
  • r_{2}: \dfrac{x-6}{2}=\dfrac{z-4}{14},\; y=8.

Passo 2

Transformar cada reta para forma paramétrica (isso facilita ver direção e um ponto da reta).
Para r_{1} tomo o parâmetro t tal que
x-3=\frac{z-2}{7}=t.
Assim escrevo as coordenadas em função de t:
x=3+t,\qquad y=4,\qquad z=2+7t.
Escolhendo t explícito, um ponto de r_{1} é P_1=(3,4,2) (obtido com t=0) e um vetor diretor é
\vec{v}_1=(1,0,7).
Para r_{2} tomo o parâmetro s tal que
\frac{x-6}{2}=\frac{z-4}{14}=s.
Então
x=6+2s,\qquad y=8,\qquad z=4+14s.
Um ponto de r_{2} é P_2=(6,8,4) (com s=0) e o vetor diretor é
\vec{v}_2=(2,0,14).

Passo 3

Comparar os vetores diretores para decidir paralelismo/colinearidade:
\vec{v}_1=(1,0,7),\qquad \vec{v}_2=(2,0,14).
Note que \vec{v}_2=2\vec{v}_1. Quando um vetor diretor é múltiplo escalar do outro, as retas são paralelas ou coincidentes (isto é, têm mesma direção).
Explicação rápida (mini-aula): se \vec{v}_2=\lambda\vec{v}_1 com \lambda\neq0, então as direções coincidem. Para decidir entre “paralelas distintas” e “coincidentes” verifica-se se existe um ponto de uma reta que satisfaça a equação da outra reta.

Passo 4

Testar se são coincidentes: verificar se um ponto de r_{1} pertence a r_{2} (ou vice-versa).
Pegar P_1=(3,4,2) de r_{1}. Se esse ponto pertencesse a r_{2} deveria existir s tal que
6+2s=3,\qquad 8=4,\qquad 4+14s=2.
Mas a equação do meio diz 8=4, que é impossível. De modo direto vemos que r_{1} tem y constante igual a 4 (isto é, toda a reta está no plano y=4), enquanto r_{2} tem y constante igual a 8 (toda a reta está no plano y=8). Como 4\neq8, as retas vivem em planos paralelos diferentes e não podem coincidir nem intersectar. Portanto são retas paralelas distintas.

Passo 5

Verificação de interseção via sistema (mostrando que não existe solução): impor igualdade das coordenadas paramétricas e ver a contradição.
Igualando x,y,z de r_{1}(t) e r_{2}(s):
3+t=6+2s,\qquad 4=8,\qquad 2+7t=4+14s.
A segunda equação 4=8 é falsa, logo não existe par (t,s) que satisfaça as três equações simultaneamente. Conclusão: não há ponto de interseção.

Passo 6

Calcular o ângulo \theta entre as retas usando o produto escalar dos vetores diretores. Fórmula (mini-aula): para vetores \vec{a} e \vec{b},
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|},
onde \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar e \|\vec{a}\| a norma.
Aplicando aos vetores dados:
\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2 = 1\cdot2 + 0\cdot0 + 7\cdot14 = 2 + 98 = 100.
Normas:
\|\vec{v}_1\|=\sqrt{1^2+0^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2},
\|\vec{v}_2\|=\sqrt{2^2+0^2+14^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}.
Então
\cos\theta=\frac{100}{(5\sqrt{2})(10\sqrt{2})}=\frac{100}{100}=1.
Daí \theta=0^\circ. Interpretação: direções coincidem, ou seja, as retas são paralelas com ângulo zero entre elas.

Passo 7

Resumo (mini-recado motivacional): as contas mostram claramente que as retas têm a mesma direção mas estão em planos com valores diferentes de y, portanto são paralelas e distintas; sem interseção; o ângulo é 0^\circ. Fica o lembrete: em provas, ao ver componentes de y constantes diferentes já dá para concluir rapidez que não intersectam se as direções são proporcionais — isso salva tempo.

Resposta

Tipo: retas paralelas distintas.
Ponto de interseção: não existe (não se intersectam).
Ângulo entre elas: \theta=0^\circ.

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