Questão 6. Qual a equação do plano determinado pelos pontos A(-2,3,-0), B(2,-0,1) e C(3,1,-3) ?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: a equação do plano determinado pelos pontos A(-2,3,-0), B(2,-0,1) e C(3,1,-3).
Informações fornecidas:
Coordenadas do ponto A: (-2,3,0) (usei -0=0).
Coordenadas do ponto B: (2,0,1).
Coordenadas do ponto C: (3,1,-3).
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática): um plano no espaço pode ser determinado por três pontos não colineares. Uma forma prática de obter a equação do plano é:
Construir dois vetores que pertencem ao plano, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Fazer o produto vetorial (cross product) \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. O resultado \overrightarrow{n} é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular ao plano).
Uma equação do plano com vetor normal \overrightarrow{n}=(a,b,c) e passando por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui x,y,z são as coordenadas de um ponto genérico do plano. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Lembrando que, se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), então \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Para \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-(-2),\;0-3,\;1-0) = (4,\,-3,\;1).
Para \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC} = C - A = (3-(-2),\;1-3,\;-3-0) = (5,\,-2,\;-3).
Passo 4
Calcular o produto vetorial \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. O produto vetorial de (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3) é dado por
(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Aplicando aos nossos vetores \overrightarrow{AB}=(4,-3,1) e \overrightarrow{AC}=(5,-2,-3):
Escrever a equação do plano usando a fórmula com um ponto conhecido (uso o ponto A(-2,3,0)). Se \overrightarrow{n}=(11,17,7) e P_0=(-2,3,0), a equação é
11(x-(-2)) + 17(y-3) + 7(z-0) = 0.
Simplificando os sinais:
11(x+2) + 17(y-3) + 7z = 0.
Passo 6
Expandir e simplificar para obter a forma mais comum:
11x + 22 + 17y - 51 + 7z = 0.
11x + 17y + 7z - 29 = 0.
Logo uma forma limpa é
11x + 17y + 7z = 29.
Passo 7
Verificação rápida (importante para evitar erros): testar se os pontos B e C satisfazem a equação.