Questão 7. Qual é a equação da reta que contém o ponto
e é paralela à reta
?
Passo 1
O enunciado dá uma reta
e um ponto e pede a equação da reta que passa pelo ponto e é paralela a
.
Informações dadas:
- A reta
está descrita por . - O ponto dado é
.
O que precisa ser encontrado:
- A equação da reta que contém o ponto
e é paralela à reta . (Podemos fornecer a equação na forma paramétrica e/ou na forma simétrica.)
Passo 2
Entender a forma simétrica da reta e como extrair dela o vetor diretor e um ponto da reta. A forma simétrica geral de uma reta em
é
onde
é um ponto qualquer da reta e
é um vetor diretor da reta (ou um múltiplo dele). Isso funciona porque se igualamos tudo a um parâmetro
obtemos as equações paramétricas
.
Passo 3
Aplicar isso à reta
. Primeiro reescrevo a última fração da reta dada de modo mais claro:
Logo a reta
pode ser vista como
Pegando esse valor comum como parâmetro
(ou seja,
), obtemos as equações paramétricas da reta
:
Passo 4
Do passo anterior identificamos:
- Um ponto que pertence a
(quando ) é . - O vetor diretor de
é , porque as componentes que multiplicam são .
Lembrete didático: duas retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores são paralelos (isto é, um é múltiplo escalar do outro). Portanto, a reta procurada deve ter vetor diretor
(ou qualquer múltiplo).
Passo 5
Construir a reta que passa por
com vetor diretor
. Usando um parâmetro
(para não confundir com o
da reta
), as equações paramétricas são:
Explicação passo a passo dessas igualdades: partimos do ponto inicial
e somamos ao vetor diretor
multiplicado pelo parâmetro
; isso gera todos os pontos da reta.
Também em forma vetorial:
Passo 6
Converter a forma paramétrica para a forma simétrica. A partir de
isolamos
em cada equação:
Igualando essas expressões obtemos a forma simétrica da reta procurada: