Questão 7. Qual é a equação da reta que contém o ponto (2,1,-1) e é paralela à reta r: \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{4}=\frac{-3+z}{-2} ?

Passo 1

O enunciado dá uma reta r e um ponto e pede a equação da reta que passa pelo ponto e é paralela a r.
Informações dadas:
  • A reta r está descrita por \displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{4}=\frac{-3+z}{-2}.
  • O ponto dado é (2,1,-1).
O que precisa ser encontrado:
  • A equação da reta que contém o ponto (2,1,-1) e é paralela à reta r. (Podemos fornecer a equação na forma paramétrica e/ou na forma simétrica.)

Passo 2

Entender a forma simétrica da reta e como extrair dela o vetor diretor e um ponto da reta. A forma simétrica geral de uma reta em \mathbb{R}^3 é
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer da reta e (a,b,c) é um vetor diretor da reta (ou um múltiplo dele). Isso funciona porque se igualamos tudo a um parâmetro t obtemos as equações paramétricas x=x_0+at,\; y=y_0+bt,\; z=z_0+ct.

Passo 3

Aplicar isso à reta r. Primeiro reescrevo a última fração da reta dada de modo mais claro:
\frac{-3+z}{-2}=\frac{z-3}{-2}.
Logo a reta r pode ser vista como
\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-3}{-2}.
Pegando esse valor comum como parâmetro t (ou seja, \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-2}=t), obtemos as equações paramétricas da reta r:
x=1+3t,\qquad y=-2+4t,\qquad z=3-2t.

Passo 4

Do passo anterior identificamos:
  • Um ponto que pertence a r (quando t=0) é (1,-2,3).
  • O vetor diretor de r é \mathbf{v}=(3,4,-2), porque as componentes que multiplicam t são 3,4,-2.
Lembrete didático: duas retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores são paralelos (isto é, um é múltiplo escalar do outro). Portanto, a reta procurada deve ter vetor diretor \mathbf{v}=(3,4,-2) (ou qualquer múltiplo).

Passo 5

Construir a reta que passa por P=(2,1,-1) com vetor diretor \mathbf{v}=(3,4,-2). Usando um parâmetro s (para não confundir com o t da reta r), as equações paramétricas são:
x=2+3s,\qquad y=1+4s,\qquad z=-1-2s.
Explicação passo a passo dessas igualdades: partimos do ponto inicial (2,1,-1) e somamos ao vetor diretor (3,4,-2) multiplicado pelo parâmetro s; isso gera todos os pontos da reta.
Também em forma vetorial:
\mathbf{r}(s)=(2,1,-1)+s(3,4,-2).

Passo 6

Converter a forma paramétrica para a forma simétrica. A partir de
x=2+3s,\quad y=1+4s,\quad z=-1-2s,
isolamos s em cada equação:
s=\frac{x-2}{3},\qquad s=\frac{y-1}{4},\qquad s=\frac{z+1}{-2}.
Igualando essas expressões obtemos a forma simétrica da reta procurada:
\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{-2}.

Resposta

\text{Equação paramétrica: } \begin{cases} x=2+3s,\\[4pt] y=1+4s,\\[4pt] z=-1-2s, \end{cases}çãé
\text{Equação simétrica: } \frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{-2}.çãé]

Exercícios relacionados