Determine se as retas \mathbf{x}=\mathbf{p}+ su e \mathbf{x}=\mathbf{q}+t \mathbf{v} se interceptam e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção.
\mathbf{p}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right], \mathbf{q}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right], \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right], \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas
\mathbf{x} = \mathbf{p} + s\,\mathbf{u}
e
\mathbf{x} = \mathbf{q} + t\,\mathbf{v}
se intersectam em algum ponto. Aqui usamos as noções de reta em \mathbb{R}^3 e resolvemos um sistema para encontrar parâmetros s e t.

Passo 2

Igualamos as duas expressões:
\mathbf{p} + s\,\mathbf{u} \;=\;\mathbf{q} + t\,\mathbf{v}.
Em componentes, com \mathbf{p}=(3,1,0), \mathbf{u}=(1,0,1), \mathbf{q}=(-1,1,-1)
e \mathbf{v}=(2,3,1),
obtemos o sistema
\begin{cases} 3 + s = -1 + 2t,\\\\ 1 = 1 + 3t,\\\\ 0 + s = -1 + t. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação
1 = 1 + 3t
segue que
3t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 0.

Passo 4

Substituindo t=0 nas outras duas equações temos
da primeira:
3 + s = -1 \quad\Longrightarrow\quad s = -4,
e da terceira:
s = -1 + 0 \quad\Longrightarrow\quad s = -1.
Isso dá s=-4 e s=-1 ao mesmo tempo, o que é impossível.

Passo 5

Como não existem s e t satisfazendo todas as equações simultaneamente, concluímos que não há ponto comum às duas retas.

Resposta

As retas não se interceptam.

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