Determine se as retas r e s são ortogonais:
r:(x, y, z)=(0,1,-2)+t(3,-6,9) \quad s:(x, y, z)=(4,-2,5)+k(1,2,-1)

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r:(x,y,z)=(0,1,-2)+t\,(3,-6,9), \quad s:(x,y,z)=(4,-2,5)+k\,(1,2,-1)
e pede para verificar se elas são ortogonais, isto é, se seus vetores direção são perpendiculares. Para isso vamos usar o produto escalar de vetores.

Passo 2

Extraímos os vetores direção de cada reta:
\displaystyle \mathbf{v}_r=(3,-6,9) e \displaystyle \mathbf{v}_s=(1,2,-1).

Passo 3

Aplicamos a definição de produto escalar:
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s =3\cdot1+(-6)\cdot2+9\cdot(-1) =3-12-9 =-18.

Passo 4

Como o produto escalar ficou -18\neq0, os vetores direção não são perpendiculares. Portanto, as retas não são ortogonais.

Resposta

Não, as retas r e s não são ortogonais.

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