Verifique se as seguintes retas são paralelas:
\mathrm{r}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-4}{3} \quad \text { e } \quad \text { s: } \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+5}{6}

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 na forma simétrica:
\mathrm{r}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-4}{3} \quad\text{e}\quad \mathrm{s}:\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+5}{6}.
O que precisamos é extrair os vetores diretores de cada reta e verificar se eles são proporcionais, pois retas em \mathbb{R}^3 são paralelas se e somente se seus vetores diretores forem colineares.

Passo 2

Na forma simétrica \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}, o vetor diretor é (a,b,c). Logo para cada reta temos:
\vec v_r = (2,\,-1,\,3), \quad \vec v_s = (4,\,-2,\,6).

Passo 3

Basta ver se existe escalar \lambda tal que \vec v_s = \lambda \,\vec v_r. Comparando componentes:
4 = \lambda\cdot 2,\quad -2 = \lambda\cdot(-1),\quad 6 = \lambda\cdot3.
Em cada caso \lambda = 2. Isso mostra que
\vec v_s = 2\,\vec v_r,
portanto os vetores diretores são colineares e as retas são paralelas.

Resposta

Sim, as retas \mathrm{r} e \mathrm{s} são paralelas.

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