Determine as retas tangentes à curva
alpha(t)=(t^2-1, t^2+1,3 t)
nos pontos em que ela intersecciona o plano
3 x-2 y-z+7=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por e um plano dado por . Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes à curva nos pontos onde ela cruza esse plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre curvas paramétricas, planos e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de 3(t^2 - 1) - 2(t^2 + 1) - 3t + 7 = 0 para os quais a curva intersecta o plano. Para isso, substituímos as coordenadas de na equação do plano:
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 3

Simplificando a equação:
3t^2 - 3 - 2t^2 - 2 - 3t + 7 = 0
Agora, combinamos os termos semelhantes:
(3t^2 - 2t^2) + (-3 - 2 + 7) - 3t = 0
t^2 + 2 - 3t = 0

Passo 4

Agora temos uma equação quadrática:
t^2 - 3t + 2 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de (t - 1)(t - 2) = 0 . Podemos fatorar ou usar a fórmula quadrática. Vamos fatorar:
Assim, ou .

Passo 5

Com os valores de alpha(1) = (1^2 - 1, 1^2 + 1, 3 times 1) = (0, 2, 3) encontrados, vamos determinar os pontos de interseção substituindo alpha(2) = (2^2 - 1, 2^2 + 1, 3 times 2) = (3, 5, 6) na função :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as retas tangentes à curva nesses pontos. Para isso, vamos calcular o vetor tangente alpha'(t) = (ddt(t^2 - 1), ddt(t^2 + 1), ddt(3t)) = (2t, 2t, 3) da curva, que é a derivada de em relação a :

Passo 7

Vamos calcular alpha'(1) = (2 times 1, 2 times 1, 3) = (2, 2, 3) para cada valor de alpha'(2) = (2 times 2, 2 times 2, 3) = (4, 4, 3) :
Para :
Para :
Esses vetores nos dão a direção das retas tangentes nos respectivos pontos.

Passo 8

Agora, vamos escrever as equações paramétricas das retas tangentes usando o ponto de interseção e o vetor tangente. A forma geral de uma reta paramétrica é:
x = x0 + a s y = y0 + b s z = z0 + c s
onde é o ponto na reta e é o vetor direcional.

Passo 9

Para o ponto x = 0 + 2s y = 2 + 2s z = 3 + 3s com vetor tangente x = 3 + 4s y = 5 + 4s z = 6 + 3s :
Para o ponto com vetor tangente :

Resposta

As retas tangentes à curva nos pontos de interseção com o plano são:
  1. x = 2s y = 2 + 2s z = 3 + 3s
  2. x = 3 + 4s y = 5 + 4s z = 6 + 3s

Exercícios relacionados