Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por e um plano dado por . Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes à curva nos pontos onde ela cruza esse plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre curvas paramétricas, planos e retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de para os quais a curva intersecta o plano. Para isso, substituímos as coordenadas de na equação do plano:
Vamos simplificar essa equação para encontrar .
Passo 3
Simplificando a equação:
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Passo 4
Agora temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de . Podemos fatorar ou usar a fórmula quadrática. Vamos fatorar:
Assim, ou .
Passo 5
Com os valores de encontrados, vamos determinar os pontos de interseção substituindo na função :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as retas tangentes à curva nesses pontos. Para isso, vamos calcular o vetor tangente da curva, que é a derivada de em relação a :
Passo 7
Vamos calcular para cada valor de :
Para :
Para :
Esses vetores nos dão a direção das retas tangentes nos respectivos pontos.
Passo 8
Agora, vamos escrever as equações paramétricas das retas tangentes usando o ponto de interseção e o vetor tangente. A forma geral de uma reta paramétrica é:
onde é o ponto na reta e é o vetor direcional.
Passo 9
Para o ponto x = 0 + 2s y = 2 + 2s z = 3 + 3s com vetor tangente x = 3 + 4s y = 5 + 4s z = 6 + 3s :
Para o ponto com vetor tangente :
Resposta
As retas tangentes à curva nos pontos de interseção com o plano são: