Reparametrize a curva
alpha(t)=(e^t, e^t sen(t), e^t cos (t)), t >= 0
com respeito ao comprimento de arco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por para . O objetivo aqui é reparametrizar essa curva em relação ao comprimento de arco. Isso significa que vamos encontrar uma nova forma de descrever a curva onde o parâmetro é justamente a distância ao longo da curva, o comprimento de arco .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é reparametrizar uma curva pelo comprimento de arco. Basicamente, em vez de usar para identificar cada ponto na curva, vamos usar , que representa a distância percorrida ao mover-se ao longo da curva desde o ponto inicial.

Passo 3

Para fazer essa reparamrização, o primeiro passo é calcular o comprimento de arco s(t) = integral0^t |alpha'(tau)| , dtau da curva desde até um ponto qualquer . A fórmula para o comprimento de arco é:
Aqui, é a derivada da curva em relação a , e é a norma dessa derivada, que representa a velocidade ao longo da curva.

Passo 4

Vamos calcular a derivada alpha'(t) = (ddte^t, ddt(e^t sin(t)), ddt(e^t cos(t))) = (e^t, e^t sin(t) + e^t cos(t), e^t cos(t) - e^t sin(t)) :

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de |alpha'(t)| = raiz(e^t)^2 + (e^t sin(t) + e^t cos(t))^2 + (e^t cos(t) - e^t sin(t))^2 :
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, fatoramos |alpha'(t)| = e^t raiz1 + (sin(t) + cos(t))^2 + (cos(t) - sin(t))^2 nas expressões:
(sin(t) + cos(t))^2 = sin^2(t) + 2sin(t)cos(t) + cos^2(t)
Agora, expandimos os quadrados dentro da raiz:
(cos(t) - sin(t))^2 = cos^2(t) - 2sin(t)cos(t) + sin^2(t)

Passo 7

Somando essas expressões:
sin^2(t) + 2sin(t)cos(t) + cos^2(t) + cos^2(t) - 2sin(t)cos(t) + sin^2(t) = 2sin^2(t) + 2cos^2(t)
Sabemos que 2sin^2(t) + 2cos^2(t) = 2(sin^2(t) + cos^2(t)) = 2 times 1 = 2 , então:

Passo 8

Voltando à norma:
|alpha'(t)| = e^t raiz1 + 2 = e^t raiz3 = raiz3 , e^t

Passo 9

Agora, podemos calcular o comprimento de arco s(t) = integral0^t raiz3 , e^tau , dtau = raiz3 integral0^t e^tau , dtau = raiz3 [e^tau]0^t = raiz3 (e^t - 1) :

Passo 10

Queremos reparametrizar a curva em termos de s = raiz3 (e^t - 1) Rightarrow e^t = sraiz3 + 1 Rightarrow t = ln(sraiz3 + 1) . Primeiro, vamos resolver a expressão de para :

Passo 11

Agora, substituímos alpha(s) = (e^ln(sraiz3 + 1), e^ln(sraiz3 + 1) sin(ln(sraiz3 + 1)), e^ln(sraiz3 + 1) cos(ln(sraiz3 + 1))) na expressão original da curva alpha(s) = (sraiz3 + 1, (sraiz3 + 1) sin(ln(sraiz3 + 1)), (sraiz3 + 1) cos(ln(sraiz3 + 1))) por essa nova expressão em :
Simplificando :

Resposta

A reparametrização da curva em relação ao comprimento de arco alpha(s) = (sraiz3 + 1, (sraiz3 + 1) sin(ln(sraiz3 + 1)), (sraiz3 + 1) cos(ln(sraiz3 + 1))) é:

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