Reparametrize a curva
com respeito ao comprimento de arco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por
para
. O objetivo aqui é reparametrizar essa curva em relação ao comprimento de arco. Isso significa que vamos encontrar uma nova forma de descrever a curva onde o parâmetro é justamente a distância ao longo da curva, o comprimento de arco
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é reparametrizar uma curva pelo comprimento de arco. Basicamente, em vez de usar
para identificar cada ponto na curva, vamos usar
, que representa a distância percorrida ao mover-se ao longo da curva desde o ponto inicial.
Passo 3
Para fazer essa reparamrização, o primeiro passo é calcular o comprimento de arco
da curva
desde
até um ponto qualquer
. A fórmula para o comprimento de arco é:
Aqui,
é a derivada da curva em relação a
, e
é a norma dessa derivada, que representa a velocidade ao longo da curva.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de
:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 6
Primeiro, fatoramos
nas expressões:
Agora, expandimos os quadrados dentro da raiz:
Passo 7
Somando essas expressões:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Voltando à norma:
Passo 9
Agora, podemos calcular o comprimento de arco
:
Passo 10
Queremos reparametrizar a curva em termos de
. Primeiro, vamos resolver a expressão de
para
:
Passo 11
Agora, substituímos
na expressão original da curva
por essa nova expressão em
:
Simplificando
:
Resposta
A reparametrização da curva em relação ao comprimento de arco
é: