Determine o rotacional e o divergente do campo
\vec{F}(x, y, z)=e^{x y} \sin (z) \vec{i}+y \arctan (x) \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede exatamente duas coisas:
  • Calcular o rotacional (ou curl) do campo \vec{F}(x,y,z).
  • Calcular o divergente (ou divergence) do mesmo campo.
O campo dado é
\vec{F}(x,y,z)=e^{x y}\sin(z)\,\vec{i}+0\cdot\vec{j}+y\arctan(x)\,\vec{k}.
Para facilitar vou nomear as componentes escalares do campo:
P(x,y,z)=e^{x y}\sin(z),\qquad Q(x,y,z)=0,\qquad R(x,y,z)=y\arctan(x).
Essas são todas as informações que o enunciado fornece. A partir daqui vamos calcular passo a passo as derivadas parciais necessárias e montar o rotacional e o divergente.

Passo 2

Antes de calcular, uma breve aula prática sobre as fórmulas (sem pular etapas):
  • O operador nabla é \nabla=(\partial/\partial x,\;\partial/\partial y,\;\partial/\partial z). É o símbolo que usamos para formar gradiente, divergente e rotacional.
  • O divergente de \vec{F}=(P,Q,R) é a soma das derivadas parciais das componentes:
\mathrm{div}\,\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Intuição simples: mede “quanto o campo está saindo” de um ponto.
  • O rotacional (curl) de \vec{F}=(P,Q,R) é dado pelo determinante formal
\nabla\times\vec{F}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] P & Q & R \end{vmatrix},
o que resulta nas componentes (escrito de forma explícita):
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}.
Intuição rápida: rotacional mede “giro” local do campo.
Agora que temos as fórmulas, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.]

Passo 3

Calcular derivadas parciais de P(x,y,z)=e^{x y}\sin(z).
  • Primeiro lembrar regras úteis:
    • Derivada de e^{x y} em relação a x (tratando y como constante) é y e^{x y} (regra da cadeia: derivada do expoente x y em relação a x é y).
    • Derivada de \sin(z) em relação a z é \cos(z).
    • Quando derivamos em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Agora as derivadas:
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}: derivando e^{x y}\sin(z) em relação a x, \sin(z) é constante, então
\frac{\partial P}{\partial x}= \bigl(y e^{x y}\bigr)\sin(z)=y e^{x y}\sin(z).
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}: derivando em relação a y, e^{x y} x e^{x y} e \sin(z) é constante:
\frac{\partial P}{\partial y}= \bigl(x e^{x y}\bigr)\sin(z)=x e^{x y}\sin(z).
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}: derivando em relação a z, e^{x y} é constante, \sin(z) vira \cos(z):
\frac{\partial P}{\partial z}= e^{x y}\cos(z).

Passo 4

Calcular derivadas parciais de Q(x,y,z)=0.
Como Q é identicamente zero, todas as suas derivadas parciais são zero:
\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=0.

Passo 5

Calcular derivadas parciais de R(x,y,z)=y\arctan(x).
Aqui y e \arctan(x) aparecem em produto; quando derivamos em relação a x, y é constante; quando derivamos em relação a y, \arctan(x) é constante. Lembrar que \dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^2}.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}: tratando y como constante,
\frac{\partial R}{\partial x}=y\cdot\frac{1}{1+x^2}=\frac{y}{1+x^2}.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}: tratando \arctan(x) como constante,
\frac{\partial R}{\partial y}=\arctan(x).
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial z}: não há dependência em z, logo
\frac{\partial R}{\partial z}=0.

Passo 6

Agora montamos o rotacional usando a fórmula componente a componente e substituindo as derivadas que calculamos.
  • Componente \vec{i}:
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_x=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =\arctan(x)-0=\arctan(x).
  • Componente \vec{j}:
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_y=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =e^{x y}\cos(z)-\frac{y}{1+x^2}.
  • Componente \vec{k}:
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_z=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =0-\bigl(x e^{x y}\sin(z)\bigr)=-x e^{x y}\sin(z).
Portanto o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\arctan(x)\,\vec{i}+\Bigl(e^{x y}\cos(z)-\frac{y}{1+x^2}\Bigr)\vec{j}-x e^{x y}\sin(z)\,\vec{k}.

Passo 7

Montamos o divergente usando a fórmula e as derivadas já obtidas:
\mathrm{div}\,\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} = y e^{x y}\sin(z)+0+0 = y e^{x y}\sin(z).

Resposta

\nabla\times\vec{F}=\arctan(x)\,\vec{i}+\Bigl(e^{x y}\cos(z)-\frac{y}{1+x^2}\Bigr)\vec{j}-x e^{x y}\sin(z)\,\vec{k}
\nabla\cdot\vec{F}=y e^{x y}\sin(z)

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