Resolva as equações diferenciais:
4 y^{\prime \prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
4\,y''-y=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y de uma variável (que chamaremos de x).
  • Aparecem a segunda derivada y'' e o próprio y.
  • Os coeficientes são constantes (o coeficiente de y'' é 4 e o de y é -1).
    A tarefa é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça a equação para todo x.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, costuma-se tentar uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
porque exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria exponencial, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para r. Vou mostrar passo a passo como isso funciona.

Passo 3

Assumindo y(x)=e^{r x}, calcule as derivadas:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação \,4y''-y=0\: obtemos
4\bigl(r^{2} e^{r x}\bigr)-e^{r x}=0.
Fatorando e^{r x} (que nunca é zero) sobra a equação algébrica
4r^{2}-1=0.

Passo 4

Resolver a equação característica 4r^{2}-1=0:
4r^{2}=1\quad\Rightarrow\quad r^{2}=\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad r=\pm \tfrac{1}{2}.
Temos duas raízes reais distintas r_{1}=\tfrac{1}{2} e r_{2}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão sobre a forma da solução (por que isso dá a solução geral): quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas r_{1} e r_{2}, as funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções linearmente independentes da equação diferencial, e a solução geral é a combinação linear delas:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso com r_{1}=\tfrac{1}{2} e r_{2}=-\tfrac{1}{2}, a solução geral fica
y(x)=C_{1}e^{x/2}+C_{2}e^{-x/2},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} (ou em \mathbb{C}, se desejado).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ficar tranquilo): calcule
y'(x)=\tfrac{1}{2}C_{1}e^{x/2}-\tfrac{1}{2}C_{2}e^{-x/2},\qquad y''(x)=\tfrac{1}{4}C_{1}e^{x/2}+\tfrac{1}{4}C_{2}e^{-x/2}.
Então
4y''-y=4\Bigl(\tfrac{1}{4}C_{1}e^{x/2}+\tfrac{1}{4}C_{2}e^{-x/2}\Bigr)-\bigl(C_{1}e^{x/2}+C_{2}e^{-x/2}\bigr)=0,
logo a solução atende à equação.

Passo 8

Observação útil (forma alternativa): usando identidades hiperbólicas, a mesma solução pode ser escrita como
y(x)=A\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+B\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
onde A e B são constantes relacionadas a C_{1} e C_{2} por A=C_{1}+C_{2} e B=C_{1}-C_{2} (até fatores convencionais).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x/2}+C_{2}e^{-x/2}

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