Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
de uma variável (que chamaremos de ). - Aparecem a segunda derivada
e o próprio . - Os coeficientes são constantes (o coeficiente de
é e o de é ).
A tarefa é encontrar a solução geralque satisfaça a equação para todo .
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, costuma-se tentar uma solução da forma
porque exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria exponencial, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para
. Vou mostrar passo a passo como isso funciona.
Passo 3
Assumindo
, calcule as derivadas:
Substituindo na equação
obtemos
Fatorando
(que nunca é zero) sobra a equação algébrica
Passo 4
Resolver a equação característica
:
Temos duas raízes reais distintas
e
.
Passo 5
Conclusão sobre a forma da solução (por que isso dá a solução geral): quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas
e
, as funções
e
são soluções linearmente independentes da equação diferencial, e a solução geral é a combinação linear delas:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso com
e
, a solução geral fica
com
(ou em
, se desejado).
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ficar tranquilo): calcule
Então
logo a solução atende à equação.
Passo 8
Observação útil (forma alternativa): usando identidades hiperbólicas, a mesma solução pode ser escrita como
onde
e
são constantes relacionadas a
e
por
e
(até fatores convencionais).