Determine se S é uma base do espaço vetorial dado:
S=\{(1,5,3),(0,1,2),(0,0,6)\} de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S e pede para decidir se ele é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Dados que peguei do enunciado:
  • S=\{(1,5,3),(0,1,2),(0,0,6)\}.
O que é pedido:
  • Determinar se S é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que significa ser uma base (explicação didática e prática):
  • Por definição, um conjunto S é uma base de \mathbb{R}^{3} se:
    1. os vetores de S são linearmente independentes, e
    2. eles geram (span) todo \mathbb{R}^{3}.
Observação prática importante para este caso:
  • Em \mathbb{R}^{3}, qualquer conjunto com exatamente três vetores é base se, e somente se, esses três vetores forem linearmente independentes. Ou seja, checar independência basta.
  • Uma forma prática de testar independência de três vetores em \mathbb{R}^{3} é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se o determinante for zero, são linearmente dependentes.
Vou aplicar esse critério aqui. (Peguei os vetores do enunciado e vou colocá‑los como colunas da matriz.)

Passo 3

Formar a matriz com os vetores de S como colunas (cada coluna é um vetor do conjunto):
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 5 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 6 \end{pmatrix}
Aqui a primeira coluna é (1,5,3)^{T}, a segunda é (0,1,2)^{T} e a terceira é (0,0,6)^{T}, como veio no enunciado.

Passo 4

Observar a forma da matriz e usar propriedade de determinante (aula rápida sobre a propriedade):
  • Uma matriz quadrada é chamada de triangular inferior (ou “lower triangular”) se todos os elementos acima da diagonal principal forem zero. Para uma matriz triangular inferior a propriedade útil é:
    • o determinante da matriz triangular inferior é o produto dos elementos da diagonal principal.
  • Na matriz A acima, os elementos acima da diagonal são:
    • entrada (1,2)=0, entrada (1,3)=0, entrada (2,3)=0.
      Portanto todos os elementos acima da diagonal são zeros e A é triangular inferior.
Explicando a propriedade do determinante de forma concreta:
  • Se uma matriz é triangular (superior ou inferior), então \det(A)=a_{11}\,a_{22}\,a_{33} no caso 3\times3. Aqui a_{11},a_{22},a_{33} são os elementos da diagonal principal.

Passo 5

Calcular o determinante usando a propriedade (passo a passo numérico):
  • Os elementos da diagonal principal de A são a_{11}=1, a_{22}=1 e a_{33}=6 (peguei esses números da matriz montada).
  • Pelo fato de A ser triangular inferior vale:
\det(A)=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}=1\cdot 1\cdot 6=6.
  • Como \det(A)=6\neq 0, concluímos que as colunas de A (ou seja, os vetores de S) são linearmente independentes.

Passo 6

Concluir sobre ser base (ligando tudo com linguagem direta e encorajadora):
  • Temos três vetores em \mathbb{R}^{3} e eles são linearmente independentes (porque o determinante da matriz com eles como colunas é diferente de zero). Logo eles também geram \mathbb{R}^{3}.
  • Portanto S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Força aí — quando vir uma coleção de três vetores em \mathbb{R}^{3}, lembrar desse teste do determinante: muitas vezes é o jeito mais rápido na prova.

Resposta

Sim. S é uma base de \mathbb{R}^{3}.

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