Explique por que S não é uma base de M_{2,2} : S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}8 & -4 \\\\ -4 & 3\end{array}\right]\right\}
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que S não é uma base do espaço M_{2,2}. O conjunto dado é
A pergunta é mostrar por que S não é uma base de M_{2,2}.]
Passo 2
O que significa ser uma base (breve e didático):
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é simultaneamente linearmente independente e gera (gera = gera todo o espaço por combinações lineares).
O espaço M_{2,2} (matrizes 2\times2) tem dimensão 4: isso quer dizer que qualquer base tem exatamente 4 vetores. Assim, um conjunto com 4 vetores em M_{2,2} é base se, e somente se, for linearmente independente.
Linearmente independente significa que a única solução parax_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3 + x_4 A_4 = 0é x_1=x_2=x_3=x_4=0. Se existir uma solução com alguma x_i\neq 0, o conjunto é linearmente dependente e, portanto, não pode ser base.
Passo 3
Representar a combinação linear entrada a entrada. Escrevemos
(2,2):\\\ -5\cdot0 + 4\cdot0 -3\cdot1 + 3 = -3 +3 = 0.
Logo a combinação é realmente a matriz zero.]
Passo 7
Conclusão final: existe uma combinação linear não trivial que dá a matriz zero, portanto os vetores de S são linearmente dependentes. Como S não é linearmente independente, não pode ser uma base de M_{2,2} (mesmo tendo quatro elementos).