Explique por que S não é uma base de M_{2,2} :
S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}8 & -4 \\\\ -4 & 3\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que S não é uma base do espaço M_{2,2}. O conjunto dado é
S=\left\{A_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\; A_4=\begin{pmatrix}8 & -4 \\[4pt] -4 & 3\end{pmatrix}\right\}.
Informações relevantes dadas:
  • Existem exatamente quatro matrizes em S.
  • A pergunta é mostrar por que S não é uma base de M_{2,2}.]

Passo 2

O que significa ser uma base (breve e didático):
  • Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é simultaneamente linearmente independente e gera (gera = gera todo o espaço por combinações lineares).
  • O espaço M_{2,2} (matrizes 2\times2) tem dimensão 4: isso quer dizer que qualquer base tem exatamente 4 vetores. Assim, um conjunto com 4 vetores em M_{2,2} é base se, e somente se, for linearmente independente.
  • Linearmente independente significa que a única solução para x_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3 + x_4 A_4 = 0é x_1=x_2=x_3=x_4=0. Se existir uma solução com alguma x_i\neq 0, o conjunto é linearmente dependente e, portanto, não pode ser base.

Passo 3

Representar a combinação linear entrada a entrada. Escrevemos
x_1\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix}8 & -4 \\[4pt] -4 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora igualamos as entradas correspondentes para obter um sistema de equações para x_1,x_2,x_3,x_4.]

Passo 4

Escrevendo as equações por entradas:
  • Entrada (1,1): x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 + 8x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 + x_3 + 8x_4 = 0.
  • Entrada (1,2): 0\cdot x_1 + x_2 + 0\cdot x_3 -4x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 - 4x_4 = 0.
  • Entrada (2,1): 0\cdot x_1 + x_2 + 0\cdot x_3 -4x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 - 4x_4 = 0(mesma equação que a anterior, como esperado porque A_2 tem entradas simétricas).
  • Entrada (2,2): 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 + 3x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 + 3x_4 = 0.

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da equação x_2 - 4x_4 = 0 obtemos x_2 = 4x_4.
  • Da equação x_3 + 3x_4 = 0 obtemos x_3 = -3x_4.
  • Substituindo x_3 na equação x_1 + x_3 + 8x_4 = 0 obtemos x_1 + (-3x_4) + 8x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 + 5x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -5x_4.
Portanto todas as incógnitas são expressáveis em função de x_4:
x_1 = -5x_4,\qquad x_2 = 4x_4,\qquad x_3 = -3x_4,\qquad x_4 = x_4.
Escolhendo x_4=1 (qualquer valor não zero serve) obtemos a solução não trivial
x_1=-5,\quad x_2=4,\quad x_3=-3,\quad x_4=1.

Passo 6

Verificação explícita da combinação que dá zero (para garantir que não houve erro):
-5A_1 + 4A_2 -3A_3 + 1A_4 = -5\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} +4\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} -3\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}8&-4\\[4pt]-4&3\end{pmatrix}.
Calculando entrada a entrada:
  • (1,1):\\\ -5\cdot1 + 4\cdot0 -3\cdot1 + 8 = -5 -3 +8 = 0.
  • (1,2):\\\ -5\cdot0 + 4\cdot1 -3\cdot0 -4 = 4 -4 = 0.
  • (2,1):\\\ -5\cdot0 + 4\cdot1 -3\cdot0 -4 = 4 -4 = 0.
  • (2,2):\\\ -5\cdot0 + 4\cdot0 -3\cdot1 + 3 = -3 +3 = 0.
    Logo a combinação é realmente a matriz zero.]

Passo 7

Conclusão final: existe uma combinação linear não trivial que dá a matriz zero, portanto os vetores de S são linearmente dependentes. Como S não é linearmente independente, não pode ser uma base de M_{2,2} (mesmo tendo quatro elementos).

Resposta

S não é uma base de M_{2,2}, pois
-5\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} +4\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} -3\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}8&-4\\[4pt]-4&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},
então S é linearmente dependente e, portanto, não é base.]

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