Determine se S é uma base do espaço vetorial dado:
S=\{(4,-3),(5,2)\} de \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{(4,-3),(5,2)\} em \mathbb{R}^{2} e pede para determinar se S é uma base de \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores são v_{1}=(4,-3) e v_{2}=(5,2).
  • A pergunta é: S é uma base de \mathbb{R}^{2}?

Passo 2

O que significa ser base? Vou explicar com calma. Um subconjunto S de \mathbb{R}^{2} é uma base se e somente se duas coisas acontecem simultaneamente:
  1. Os vetores de S são linearmente independentes.
    • Linearmente independentes significa que a única maneira de escrever a combinação linear
    a\,v_{1}+b\,v_{2}=(0,0)com escalares a,b\in\mathbb{R} é ter a=0 e b=0. Se existe alguma combinação não-trivial (algum coeficiente diferente de zero) que dá o vetor nulo, então são dependentes.
  2. Eles geram (ou geram todo) \mathbb{R}^{2} — isto é, qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como x',y' tais que (x,y)=\alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}para alguns escalares \alpha,\beta.
    Em \mathbb{R}^{2}, se temos exatamente dois vetores e eles são linearmente independentes, automaticamente eles geram \mathbb{R}^{2}. Então basta verificar a independência linear.

Passo 3

Vamos testar a independência linear montando a equação da combinação linear nula:
a(4,-3)+b(5,2)=(0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema linear
\begin{cases} 4a+5b=0,\\[4pt] -3a+2b=0. \end{cases}
Aqui a e b são os escalares que queremos testar: se a única solução for a=0 e b=0, então os vetores são independentes.]

Passo 4

Resolvo o sistema por eliminação (passo a passo):
  • Multiplico a segunda equação por 5\) e a primeira por \(2\) para igualar o coeficiente de \(b\): \[\begin{cases} 2(4a+5b)=8a+10b=0,\\[4pt] 5(-3a+2b)=-15a+10b=0. \end{cases}
  • Subtraio a segunda da primeira para eliminar b\]: \[(8a+10b)-(-15a+10b)=8a+10b+15a-10b=23a=0.\] - Assim vem \(23a=0, logo a=0. Substituindo a=0 em 4a+5b=0 5b=0, então b=0.
Como a única solução é a=0 e b=0, concluímos que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes.]

Passo 5

Uma verificação alternativa e rápida (útil em prova): formar a matriz cujas colunas são v_{1} e v_{2},
A=\begin{pmatrix}4 & 5\\[4pt]-3 & 2\end{pmatrix},
e calcular o determinante. Se \det(A)\neq 0, as colunas são independentes. Calculando:
\det(A)=4\cdot 2 - 5\cdot(-3)=8+15=23\neq 0.
Portanto a matriz é invertível e os vetores são independentes — mesma conclusão que pelo sistema acima.]

Passo 6

Como temos dois vetores em \mathbb{R}^{2} que são linearmente independentes, eles geram \mathbb{R}^{2}. Logo S é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Sim. S é uma base de \mathbb{R}^{2}.

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