Determine se
é uma base do espaço vetorial dado:
de
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
em
e pede para determinar se
é uma base de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores são
e . - A pergunta é:
é uma base de ?
Passo 2
O que significa ser base? Vou explicar com calma. Um subconjunto
de
é uma base se e somente se duas coisas acontecem simultaneamente:
- Os vetores de
são linearmente independentes. - Linearmente independentes significa que a única maneira de escrever a combinação linear
com escalares é ter e . Se existe alguma combinação não-trivial (algum coeficiente diferente de zero) que dá o vetor nulo, então são dependentes. - Eles geram (ou geram todo)
— isto é, qualquer vetor pode ser escrito como tais que para alguns escalares .
Em, se temos exatamente dois vetores e eles são linearmente independentes, automaticamente eles geram . Então basta verificar a independência linear.
Passo 3
Vamos testar a independência linear montando a equação da combinação linear nula:
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema linear
Aqui
e
são os escalares que queremos testar: se a única solução for
e
, então os vetores são independentes.]
Passo 4
Resolvo o sistema por eliminação (passo a passo):
- Multiplico a segunda equação por
- Subtraio a segunda da primeira para eliminar
, logo
. Substituindo em dá , então .
Como a única solução é
e
, concluímos que
e
são linearmente independentes.]
Passo 5
Uma verificação alternativa e rápida (útil em prova): formar a matriz cujas colunas são
e
,
e calcular o determinante. Se
, as colunas são independentes. Calculando:
Portanto a matriz é invertível e os vetores são independentes — mesma conclusão que pelo sistema acima.]
Passo 6
Como temos dois vetores em
que são linearmente independentes, eles geram
. Logo
é uma base de
.
Resposta
Sim.
é uma base de
.