Determine se S é uma base de P_{3} :
S=\left\{1-2 t^{2}+t^{3},-4+t^{2}, 2 t+t^{3}, 5 t\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{\,1-2t^{2}+t^{3},\;-4+t^{2},\;2t+t^{3},\;5t\,\}
e pede para determinar se S é uma base de P_{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos de S são polinômios de grau no máximo 3 (portanto pertencem a P_{3}).
  • O conjunto S tem exatamente 4 elementos.
O que se pergunta: “Sim ou não — S é uma base de P_{3}?” (ou seja, se os 4 polinômios formam um conjunto linearmente independente que gera P_{3}).

Passo 2

Ideia usada (explicação didática do conceito que será aplicado):
  • O espaço vetorial P_{3} (polinômios de grau ≤ 3) tem dimensão 4; uma base tem exatamente 4 vetores.
  • Para um conjunto de 4 vetores em um espaço de dimensão 4, é suficiente testar linear independência (se eles são linearmente independentes então necessariamente geram o espaço e são uma base).
  • Para testar independência é comum escrever os polinômios nas coordenadas em relação à base padrão \{1,t,t^{2},t^{3}\} e verificar se a única solução de c_{1}p_{1}+c_{2}p_{2}+c_{3}p_{3}+c_{4}p_{4}=0é c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0. Na prática usaremos eliminação de Gauss sobre a matriz cujas colunas são os vetores de coeficientes.
Breve lembrete sobre coordenadas: cada polinômio a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3 corresponde ao vetor coluna \begin{pmatrix}a_0\a_1\a_2\a_3\end{pmatrix} na base padrão.

Passo 3

Escrever cada polinômio de S como vetor de coeficientes na base \{1,t,t^{2},t^{3}\}:
  • p_{1}=1-2t^{2}+t^{3} corresponde a \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
  • p_{2}=-4+t^{2} corresponde a \begin{pmatrix}-4\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • p_{3}=2t+t^{3} corresponde a \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
  • p_{4}=5t corresponde a \begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Formamos a matriz A cujas colunas são esses vetores (cada coluna é um polinômio em coordenadas):
A=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 5\\[4pt] -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
As linhas estão nas posições correspondentes aos coeficientes de 1,t,t^{2},t^{3}.]

Passo 4

Vamos aplicar eliminação de Gauss para verificar se a matriz tem posto 4 (ou seja, pivot em cada coluna/linha, diagonal principal não nula após triangularização). Operações passo a passo (cada operação mantém ou altera de forma controlada o posto; não precisamos do determinante numérico, apenas verificar se obtemos pivôs não nulos em todas as 4 linhas):
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 5\\[4pt] -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Usamos R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1} para eliminar o -2 da entrada (3,1), e R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{1} para zerar a entrada (4,1):
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 5\\[4pt] 0 & -7 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Agora há um pivô conveniente na posição (2,2) se colocarmos a linha 3 no lugar da linha 2. Fazer a troca R_{2}\leftrightarrow R_{3} (isso não altera o fato de existência de pivôs, só reordena):
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -7 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 5\\[4pt] 0 & 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Eliminamos a entrada (4,2) usando R_{4}\leftarrow R_{4}+\dfrac{4}{7}R_{2}:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 0\\[6pt] 0 & -7 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 2 & 5\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Agora pivot em (3,3) é 2. Eliminamos a entrada (4,3) usando R_{4}\leftarrow R_{4}-\dfrac{1}{2}R_{3}:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 0\\[6pt] 0 & -7 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 2 & 5\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -\dfrac{5}{2} \end{pmatrix}]

Passo 5

A matriz está agora em forma triangular superior com entradas da diagonal principal:
1,\quad -7,\quad 2,\quad -\dfrac{5}{2},
todas diferentes de zero. Isso mostra que há pivô em cada uma das 4 linhas, logo a matriz A tem posto 4.
Conclusão lógica:
  • As colunas de A (os 4 polinômios de S) são linearmente independentes.
  • Como P_{3} tem dimensão 4 e temos 4 vetores linearmente independentes, eles formam uma base de P_{3}.

Resposta

Sim. S é uma base de P_{3}.

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