Os elementos de S são polinômios de grau no máximo 3 (portanto pertencem a P_{3}).
O conjunto S tem exatamente 4 elementos.
O que se pergunta: “Sim ou não — S é uma base de P_{3}?” (ou seja, se os 4 polinômios formam um conjunto linearmente independente que gera P_{3}).
Passo 2
Ideia usada (explicação didática do conceito que será aplicado):
O espaço vetorial P_{3} (polinômios de grau ≤ 3) tem dimensão 4; uma base tem exatamente 4 vetores.
Para um conjunto de 4 vetores em um espaço de dimensão 4, é suficiente testar linear independência (se eles são linearmente independentes então necessariamente geram o espaço e são uma base).
Para testar independência é comum escrever os polinômios nas coordenadas em relação à base padrão \{1,t,t^{2},t^{3}\} e verificar se a única solução dec_{1}p_{1}+c_{2}p_{2}+c_{3}p_{3}+c_{4}p_{4}=0é c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0. Na prática usaremos eliminação de Gauss sobre a matriz cujas colunas são os vetores de coeficientes.
Breve lembrete sobre coordenadas: cada polinômio a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3 corresponde ao vetor coluna \begin{pmatrix}a_0\a_1\a_2\a_3\end{pmatrix} na base padrão.
Passo 3
Escrever cada polinômio de S como vetor de coeficientes na base \{1,t,t^{2},t^{3}\}:
p_{1}=1-2t^{2}+t^{3} corresponde a \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
p_{2}=-4+t^{2} corresponde a \begin{pmatrix}-4\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
p_{3}=2t+t^{3} corresponde a \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
p_{4}=5t corresponde a \begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Formamos a matriz A cujas colunas são esses vetores (cada coluna é um polinômio em coordenadas):
As linhas estão nas posições correspondentes aos coeficientes de 1,t,t^{2},t^{3}.]
Passo 4
Vamos aplicar eliminação de Gauss para verificar se a matriz tem posto 4 (ou seja, pivot em cada coluna/linha, diagonal principal não nula após triangularização). Operações passo a passo (cada operação mantém ou altera de forma controlada o posto; não precisamos do determinante numérico, apenas verificar se obtemos pivôs não nulos em todas as 4 linhas):
Agora há um pivô conveniente na posição (2,2) se colocarmos a linha 3 no lugar da linha 2. Fazer a troca R_{2}\leftrightarrow R_{3} (isso não altera o fato de existência de pivôs, só reordena):