Os vetores listados são polinômios (cada um de grau no máximo 3).
O conjunto S tem |S|=5 elementos.
O espaço P_{3} é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3 (ou seja, polinômios da forma a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3).
Passo 2
Vou recordar o que significa ser uma base (aula rapidinha):
Um conjunto B é uma base de um espaço vetorial V se e somente se:
os vetores de B são linearmente independentes;
os vetores de B geram (espalham) V.
Um teorema muito útil (e simples) é: se \dim V=n, então qualquer conjunto com mais de n vetores em V é necessariamente linearmente dependente.
Explicando em palavras: numa base canônica de n coordenadas, não se pode ter mais de n vetores independentes; ter mais significa que algum vetor é combinação linear dos outros.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
O espaço P_{3} tem dimensão \dim P_{3}=4 (as coordenadas são os coeficientes dos monômios 1,t,t^{2},t^{3}).
O conjunto S tem 5 vetores, ou seja, |S|=5>4=\dim P_{3}.
Logo, por esse teorema, S é automaticamente linearmente dependente e, portanto, não pode ser uma base de P_{3}.
Passo 4
Para ficar didático e ver explicitamente a dependência linear, escrevemos cada polinômio de S nas coordenadas em relação à base canônica \{1,t,t^{2},t^{3}\}:
Procuramos coeficientes a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\), nem todos zero, tais que
\[a_{1}(4-t)+a_{2}t^{3}+a_{3}(6t^{2})+a_{4}(3t+t^{3})+a_{5}(-1+4t)=0.
Igualando coeficientes dos monômios 1,t,t^{2},t^{3} obtemos o sistema
Da terceira equação vem a_{3}=0\].
- Da primeira equação \(a_{5}=4a_{1}.
- Substituindo a_{5}=4a_{1} na segunda:-a_{1}+3a_{4}+4(4a_{1})=0 \;\Rightarrow\; -a_{1}+3a_{4}+16a_{1}=0