Determine se S é uma base de P_{3} :
S=\left\{4-t, t^{3}, 6 t^{2}, 3 t+t^{3},-1+4 t\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se S é uma base do espaço P_{3}. O conjunto S é
S=\{\,4-t,\; t^{3},\; 6t^{2},\; 3t+t^{3},\; -1+4t\,\}.
Informações relevantes dadas:
  • Os vetores listados são polinômios (cada um de grau no máximo 3).
  • O conjunto S tem |S|=5 elementos.
  • O espaço P_{3} é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3 (ou seja, polinômios da forma a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3).

Passo 2

Vou recordar o que significa ser uma base (aula rapidinha):
  • Um conjunto B é uma base de um espaço vetorial V se e somente se:
    1. os vetores de B são linearmente independentes;
    2. os vetores de B geram (espalham) V.
  • Um teorema muito útil (e simples) é: se \dim V=n, então qualquer conjunto com mais de n vetores em V é necessariamente linearmente dependente.
    Explicando em palavras: numa base canônica de n coordenadas, não se pode ter mais de n vetores independentes; ter mais significa que algum vetor é combinação linear dos outros.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
  • O espaço P_{3} tem dimensão \dim P_{3}=4 (as coordenadas são os coeficientes dos monômios 1,t,t^{2},t^{3}).
  • O conjunto S tem 5 vetores, ou seja, |S|=5>4=\dim P_{3}.
    Logo, por esse teorema, S é automaticamente linearmente dependente e, portanto, não pode ser uma base de P_{3}.

Passo 4

Para ficar didático e ver explicitamente a dependência linear, escrevemos cada polinômio de S nas coordenadas em relação à base canônica \{1,t,t^{2},t^{3}\}:
\begin{aligned} 4-t &\longmapsto (4,\,-1,\,0,\,0),\\[4pt] t^{3} &\longmapsto (0,\,0,\,0,\,1),\\[4pt] 6t^{2} &\longmapsto (0,\,0,\,6,\,0),\\[4pt] 3t+t^{3} &\longmapsto (0,\,3,\,0,\,1),\\[4pt] -1+4t &\longmapsto (-1,\,4,\,0,\,0). \end{aligned}]

Passo 5

Procuramos coeficientes a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\), nem todos zero, tais que \[a_{1}(4-t)+a_{2}t^{3}+a_{3}(6t^{2})+a_{4}(3t+t^{3})+a_{5}(-1+4t)=0.
Igualando coeficientes dos monômios 1,t,t^{2},t^{3} obtemos o sistema
\begin{cases} \text{constante:}& 4a_{1}-a_{5}=0,\\[4pt] t\text{:}& -a_{1}+3a_{4}+4a_{5}=0,\\[4pt] t^{2}\text{:}& 6a_{3}=0,\\[4pt] t^{3}\text{:}& a_{2}+a_{4}=0. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da terceira equação vem a_{3}=0\]. - Da primeira equação \(a_{5}=4a_{1}.
    - Substituindo a_{5}=4a_{1} na segunda: -a_{1}+3a_{4}+4(4a_{1})=0 \;\Rightarrow\; -a_{1}+3a_{4}+16a_{1}=0
\Rightarrow\; 15a_{1}+3a_{4}=0 \;\Rightarrow\; a_{4}=-5a_{1}.
  • Da última equação a_{2}+a_{4}=0 segue a_{2}=-a_{4}=5a_{1}.
Portanto temos uma família de soluções parametrizada por a_{1}. Tomando a_{1}=1 obtemos uma combinação não trivial:
1\cdot(4-t)+5\cdot t^{3}+0\cdot(6t^{2})+(-5)\cdot(3t+t^{3})+4\cdot(-1+4t)=0.
Verificação rápida dos coeficientes:
  • constante: 4+0+0+(-5)\cdot0+4\cdot(-1)=4-4=0;
  • coeficiente de t: -1+0+(-5)\cdot3+4\cdot4=-1-15+16=0;
  • coeficiente de t^{2}: 0 (só vinha de 6t^{2} com coeficiente zero);
  • coeficiente de t^{3}: 5+(-5)=0.
    Isto confirma explicitamente que os vetores são linearmente dependentes.]

Passo 6

Conclusão final: como S é linearmente dependente (além de ter mais vetores que a dimensão de P_{3}), não é possível que S seja uma base de P_{3}.

Resposta

Não. S não é uma base de P_{3}.

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