Determine se S é uma base do espaço vetorial dado:
S=\{(0,3,-2),(4,0,3),(-8,15,-16)\} de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pergunta se S é uma base de \mathbb{R}^{3}. Os dados são os três vetores de S:
\mathbf{v}_1=(0,3,-2),\qquad \mathbf{v}_2=(4,0,3),\qquad \mathbf{v}_3=(-8,15,-16).
O que se pede: determinar se esses três vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Lembrete teórico bem prático (para usar na prova):
  • Uma coleção de vetores é uma base de \mathbb{R}^{3} se e só se os vetores forem linearmente independentes e gerarem \mathbb{R}^{3}.
  • Para exatamente três vetores em \mathbb{R}^{3}, uma maneira rápida é formar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes (logo uma base). Se o determinante for zero, são linearmente dependentes (logo não formam base).
    Explicando o porquê, de forma simples: determinante não-nulo significa que a transformação linear que leva a base canônica para esses vetores é invertível, portanto os vetores são independentes e espaçam todo \mathbb{R}^3.

Passo 3

Vamos formar a matriz A com as colunas sendo \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3:
A=\begin{pmatrix} 0 & 4 & -8\\[4pt] 3 & 0 & 15\\[4pt] -2 & 3 & -16 \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante de A. Uso desenvolvimento pela primeira linha para ser direto:
\det(A)=0\cdot\det\begin{pmatrix}0&15\\[2pt]3&-16\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}3&15\\[2pt]-2&-16\end{pmatrix} +(-8)\cdot\det\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]-2&3\end{pmatrix}.
Calculemos os menores 2×2:
\det\begin{pmatrix}3&15\\[2pt]-2&-16\end{pmatrix}=3\cdot(-16)-15\cdot(-2)=-48+30=-18,
\det\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]-2&3\end{pmatrix}=3\cdot3-0\cdot(-2)=9.
Substituindo:
\det(A)=0-4\cdot(-18)+(-8)\cdot9=72-72=0.]

Passo 4

Como \det(A)=0\), concluímos que os vetores são linearmente dependentes, portanto não formam uma base de \(\mathbb{R}^3\). Para ficar ainda mais claro — e para treinar uma técnica que pode pedir na prova — vamos achar uma relação linear não trivial entre os vetores. Procuramos escalares \(a,b,c\), não todos nulos, tais que \[a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} 0\cdot a+4b-8c=0,\\[4pt] 3a+0\cdot b+15c=0,\\[4pt] -2a+3b-16c=0. \end{cases}
Da primeira equação vem 4b-8c=0\], ou seja \[b=2c.\] Da segunda vem \(3a+15c=0, ou seja
a=-5c.
Substituindo a=-5c e b=2c na terceira equação obtemos
-2(-5c)+3(2c)-16c=10c+6c-16c=0,
que é satisfeita para qualquer c. Portanto existe uma relação não trivial. Tomando c=1 obtemos
a=-5,\qquad b=2,\qquad c=1,
ou seja
-5\mathbf{v}_1+2\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
Isto mostra explicitamente que \mathbf{v}_3=5\mathbf{v}_1-2\mathbf{v}_2, portanto \mathbf{v}_3 é combinação linear de \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 e os três vetores são dependentes.]

Passo 5

Conclusão prática e dica de prova: sempre que tiver exatamente três vetores em \mathbb{R}^3, calcular o determinante da matriz formada por eles é o caminho mais rápido para decidir se formam base. Se der zero, procure a combinação linear (como fiz acima) para justificar explicitamente a dependência — isso costuma garantir pontos na correção.

Resposta

Não — S não é uma base de \mathbb{R}^{3}.

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