O que se pede: determinar se esses três vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Lembrete teórico bem prático (para usar na prova):
Uma coleção de vetores é uma base de \mathbb{R}^{3} se e só se os vetores forem linearmente independentes e gerarem \mathbb{R}^{3}.
Para exatamente três vetores em \mathbb{R}^{3}, uma maneira rápida é formar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes (logo uma base). Se o determinante for zero, são linearmente dependentes (logo não formam base).
Explicando o porquê, de forma simples: determinante não-nulo significa que a transformação linear que leva a base canônica para esses vetores é invertível, portanto os vetores são independentes e espaçam todo \mathbb{R}^3.
Passo 3
Vamos formar a matriz A com as colunas sendo \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3:
Como \det(A)=0\), concluímos que os vetores são linearmente dependentes, portanto não formam uma base de \(\mathbb{R}^3\).
Para ficar ainda mais claro — e para treinar uma técnica que pode pedir na prova — vamos achar uma relação linear não trivial entre os vetores. Procuramos escalares \(a,b,c\), não todos nulos, tais que
\[a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
Isto mostra explicitamente que \mathbf{v}_3=5\mathbf{v}_1-2\mathbf{v}_2, portanto \mathbf{v}_3 é combinação linear de \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 e os três vetores são dependentes.]
Passo 5
Conclusão prática e dica de prova: sempre que tiver exatamente três vetores em \mathbb{R}^3, calcular o determinante da matriz formada por eles é o caminho mais rápido para decidir se formam base. Se der zero, procure a combinação linear (como fiz acima) para justificar explicitamente a dependência — isso costuma garantir pontos na correção.