Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
f(x, y)=x^{3} y^{2}-x^{3} y ;
f_{x x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}y^{2}-x^{3}y
e pede a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s): f_{xx} (a derivada segunda de f em relação a x, ou seja, derivar duas vezes \emph{em x}). As informações relevantes são:
  • A função depende de x e y.
  • Ao derivar em relação a x, tratamos y como constante.
  • Precisamos primeiro obter f_{x} e depois derivar esse resultado em relação a x novamente para obter f_{xx}.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática):
  • Regra do fator constante: se c é constante (aqui pode ser uma expressão que dependa apenas de y), então \dfrac{\partial}{\partial x}(c\cdot g(x))=c\cdot g'(x).
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para n inteiro positivo.
    No contexto de derivadas parciais, aplicamos essas regras tratando todas as expressões que dependem só de y como constantes quando diferenciamos em relação a x.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial \,f_{x}\,.
Derivamos termo a termo, mantendo y constante.
Derivando o primeiro termo x^{3}y^{2}: y^{2} é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}y^{2})=y^{2}\cdot\frac{d}{dx}x^{3}=y^{2}\cdot 3x^{2}=3x^{2}y^{2}.
Derivando o segundo termo -x^{3}y: y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}(-x^{3}y)= -y\cdot\frac{d}{dx}x^{3}=-y\cdot 3x^{2}=-3x^{2}y.
Somando os dois resultados:
f_{x}(x,y)=3x^{2}y^{2}-3x^{2}y.
Podemos fatorar para ficar mais claro:
f_{x}(x,y)=3x^{2}\bigl(y^{2}-y\bigr).

Passo 4

Explicação do que é f_{xx} e como calculá-la:
  • f_{xx} significa "derivar f duas vezes em relação a x". Assim, devemos derivar f_{x} em relação a x novamente, sempre tratando y como constante.
  • Aplicamos as mesmas regras: fator constante e regra do poder.

Passo 5

Calcular a segunda derivada parcial \,f_{xx}\, derivando f_{x} obtida no Passo 3.
Usando f_{x}(x,y)=3x^{2}y^{2}-3x^{2}y:
Derivando 3x^{2}y^{2} em relação a x: y^{2} é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2})=3y^{2}\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=3y^{2}\cdot 2x=6x y^{2}.
Derivando -3x^{2}y em relação a x: y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}(-3x^{2}y)=-3y\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=-3y\cdot 2x=-6x y.
Somando:
f_{xx}(x,y)=6x y^{2}-6x y.
Podemos também fatorar para uma forma mais compacta:
f_{xx}(x,y)=6x\bigl(y^{2}-y\bigr)=6xy\bigl(y-1\bigr).

Resposta

f_{xx}(x,y)=6x y^{2}-6x y

Exercícios relacionados