Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s):
(a derivada segunda de
em relação a
, ou seja, derivar duas vezes \emph{em
}). As informações relevantes são:
- A função depende de
e . - Ao derivar em relação a
, tratamos como constante. - Precisamos primeiro obter
e depois derivar esse resultado em relação a novamente para obter .
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática):
- Regra do fator constante: se
é constante (aqui pode ser uma expressão que dependa apenas de ), então . - Regra do poder (power rule):
para inteiro positivo.
No contexto de derivadas parciais, aplicamos essas regras tratando todas as expressões que dependem só decomo constantes quando diferenciamos em relação a .
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial
.
Derivamos termo a termo, mantendo constante.
Derivamos termo a termo, mantendo
Derivando o primeiro termo
:
é constante, então
Derivando o segundo termo
:
é constante, então
Somando os dois resultados:
Podemos fatorar para ficar mais claro:
Passo 4
Explicação do que é
e como calculá-la:
-
significa "derivar duas vezes em relação a ". Assim, devemos derivar em relação a novamente, sempre tratando como constante. - Aplicamos as mesmas regras: fator constante e regra do poder.
Passo 5
Calcular a segunda derivada parcial
derivando
obtida no Passo 3.
Usando
:
Derivando
em relação a
:
é constante, então
Derivando
em relação a
:
é constante, então
Somando:
Podemos também fatorar para uma forma mais compacta: