Use a derivação implícita para encontrar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.
x^{2}-y^{2}+2 z-2=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} da função z=z(x,y) definida implicitamente pela equação
x^{2}-y^{2}+2 z-2=4.
Informações dadas que vamos usar:
  • A relação entre x, y e z é a igualdade acima.
  • z é considerada uma função de x e y (ou seja, z=z(x,y)).
  • x e y são as variáveis independentes e podem ser tratadas como constantes quando diferenciamos em relação à outra variável.

Passo 2

Ideia da derivação implícita (explicação didática): quando temos uma equação que envolve x, y e z(x,y), podemos derivar ambos os lados em relação a x (mantendo y constante) para obter \frac{\partial z}{\partial x}, ou em relação a y (mantendo x constante) para obter \frac{\partial z}{\partial y}. Ao derivar um termo que contém z, aplicamos a regra da cadeia: se temos um termo g(z), então
\frac{\partial}{\partial x}g(z(x,y)) = g'(z)\,\frac{\partial z}{\partial x}.
No nosso caso, o termo linear 2z dá, ao derivar, 2\,\frac{\partial z}{\partial x} ou 2\,\frac{\partial z}{\partial y}, conforme a variável de diferenciação.

Passo 3

Vamos derivar a equação em relação a x, tratando y como constante. Derivando termo a termo:
  • \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-y^{2}\bigr)=0 porque y é constante.
  • \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2z\bigr)=2\,\frac{\partial z}{\partial x} pela regra da cadeia.
  • \frac{\partial}{\partial x}(-2)=0 e \frac{\partial}{\partial x}(4)=0.
Portanto, ao derivar ambos os lados obtemos
2x + 0 + 2\,\frac{\partial z}{\partial x} + 0 = 0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação obtida para \frac{\partial z}{\partial x}. Subtraindo 2x de ambos os lados e dividindo por 2:
2\,\frac{\partial z}{\partial x} = -2x \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} = -x.
Breve interpretação: mudar x um pouco (com y fixo) faz z variar na proporção -x.

Passo 5

Agora derivamos a equação em relação a y, tratando x como constante. Derivando termo a termo:
  • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0 porque x é constante.
  • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y^{2}\bigr)=-2y.
  • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2z\bigr)=2\,\frac{\partial z}{\partial y} pela regra da cadeia.
  • \frac{\partial}{\partial y}(-2)=0 e \frac{\partial}{\partial y}(4)=0.
Assim obtemos
0 - 2y + 2\,\frac{\partial z}{\partial y} + 0 = 0.

Passo 6

Resolvendo para \frac{\partial z}{\partial y}: somamos 2y aos dois lados e dividimos por 2:
2\,\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial y} = y.
Interpretação: mudar y um pouco (com x fixo) faz z variar na proporção y.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para reforçar o aprendizado): podemos isolar z da equação original,
x^{2}-y^{2}+2z-2=4 \quad\Rightarrow\quad 2z = 6 - x^{2} + y^{2} \quad\Rightarrow\quad z = 3 - \tfrac{1}{2}x^{2} + \tfrac{1}{2}y^{2}.
Derivando explicitamente, \frac{\partial z}{\partial x} = -x e \frac{\partial z}{\partial y} = y, que coincide com o que obtivemos por derivação implícita — ótimo sinal de consistência.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -x\n \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = y

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