Use a derivação implícita para encontrar
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais
e
da função
definida implicitamente pela equação
Informações dadas que vamos usar:
- A relação entre
, e é a igualdade acima. -
é considerada uma função de e (ou seja, ). -
e são as variáveis independentes e podem ser tratadas como constantes quando diferenciamos em relação à outra variável.
Passo 2
Ideia da derivação implícita (explicação didática): quando temos uma equação que envolve
,
e
, podemos derivar ambos os lados em relação a
(mantendo
constante) para obter
, ou em relação a
(mantendo
constante) para obter
. Ao derivar um termo que contém
, aplicamos a regra da cadeia: se temos um termo
, então
No nosso caso, o termo linear
dá, ao derivar,
ou
, conforme a variável de diferenciação.
Passo 3
Vamos derivar a equação em relação a
, tratando
como constante. Derivando termo a termo:
-
. -
porque é constante. -
pela regra da cadeia. -
e .
Portanto, ao derivar ambos os lados obtemos
Passo 4
Agora resolvemos a equação obtida para
. Subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
:
Breve interpretação: mudar
um pouco (com
fixo) faz
variar na proporção
.
Passo 5
Agora derivamos a equação em relação a
, tratando
como constante. Derivando termo a termo:
-
porque é constante. -
. -
pela regra da cadeia. -
e .
Assim obtemos
Passo 6
Resolvendo para
: somamos
aos dois lados e dividimos por
:
Interpretação: mudar
um pouco (com
fixo) faz
variar na proporção
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para reforçar o aprendizado): podemos isolar
da equação original,
Derivando explicitamente,
e
, que coincide com o que obtivemos por derivação implícita — ótimo sinal de consistência.