Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
u=\operatorname{sen} \theta ; \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função u=\operatorname{sen}\theta e pede a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s): especificamente \dfrac{\partial^{2}u}{\partial\theta^{2}}.
Informações relevantes fornecidas: a função depende apenas da variável \theta e queremos a segunda derivada em relação a \theta.

Passo 2

Entendendo a notação e o que significa calcular uma derivada parcial aqui. A notação \dfrac{\partial u}{\partial\theta} indica a derivada parcial de u em relação a \theta. Quando a função depende somente de \theta (sem outras variáveis), a derivada parcial coincide com a derivada ordinária em relação a \theta. Portanto podemos diferenciar como se estivéssemos fazendo cálculo de uma função de uma variável.

Passo 3

Lembrando a regra básica que vamos usar: a derivada de \operatorname{sen}x em relação a x é \cos x. Uma justificativa clássica rápida (sem pular etapas importantes):
\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}.
Usando a identidade trigonométrica
\sin(x+h)-\sin x=2\cos\!\left(x+\tfrac{h}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right),
temos
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\cos\!\left(x+\tfrac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}.
Ao tomar h\to0 a primeira parte tende a \cos x e a segunda tende a 1, logo o limite é \cos x. Portanto \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Aplicando isso com x=\theta teremos a primeira derivada.

Passo 4

Calculemos a primeira derivada parcial (que aqui é a ordinária):
\frac{\partial u}{\partial\theta}=\frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta.
Expliquei antes por que \sin' é \cos; aqui apenas aplicamos o resultado.

Passo 5

Agora precisamos da segunda derivada, ou seja, derivar novamente \cos\theta em relação a \theta. Lembrete: a derivada de \cos x é -\sin x. Uma forma rápida de ver isso é usar \cos x=\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right) e derivar: a derivada de \sin é \cos, então
\frac{d}{dx}\cos x=\frac{d}{dx}\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=-\sin x,
pois \cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=-\sin x.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, derivamos \cos\theta:
\frac{\partial^{2}u}{\partial\theta^{2}}=\frac{d}{d\theta}\big(\cos\theta\big)=-\sin\theta.
Se quiser checar com um exemplo numérico rápido: para \theta=0, u=\sin0=0, primeira derivada \cos0=1, segunda derivada -\sin0=0 — faz sentido e é consistente.

Resposta

-\sin\theta

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