Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s): especificamente
.
Informações relevantes fornecidas: a função depende apenas da variável e queremos a segunda derivada em relação a
.
Informações relevantes fornecidas: a função depende apenas da variável
Passo 2
Entendendo a notação e o que significa calcular uma derivada parcial aqui. A notação
indica a derivada parcial de
em relação a
. Quando a função depende somente de
(sem outras variáveis), a derivada parcial coincide com a derivada ordinária em relação a
. Portanto podemos diferenciar como se estivéssemos fazendo cálculo de uma função de uma variável.
Passo 3
Lembrando a regra básica que vamos usar: a derivada de
em relação a
é
. Uma justificativa clássica rápida (sem pular etapas importantes):
Usando a identidade trigonométrica
temos
Ao tomar
a primeira parte tende a
e a segunda tende a
, logo o limite é
. Portanto
. Aplicando isso com
teremos a primeira derivada.
Passo 4
Calculemos a primeira derivada parcial (que aqui é a ordinária):
Expliquei antes por que
é
; aqui apenas aplicamos o resultado.
Passo 5
Agora precisamos da segunda derivada, ou seja, derivar novamente
em relação a
. Lembrete: a derivada de
é
. Uma forma rápida de ver isso é usar
e derivar: a derivada de
é
, então
pois
.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso, derivamos
:
Se quiser checar com um exemplo numérico rápido: para
,
, primeira derivada
, segunda derivada
— faz sentido e é consistente.