Encontre os pontos de máximo, mínimo e/ou de sela da função
sujeita à restriçăo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo, mínimo e/ou de sela da função
sujeitos à restrição linear
.
Informações dadas:
- A função objetivo é
. - A restrição é a equação da reta
.
O que é pedido:
- Determinar, entre os pontos
que satisfazem , quais correspondem a máximos, mínimos ou pontos de sela de (se existirem), e indicar os valores de nesses pontos.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (em linguagem simples).
- Como a restrição é uma equação linear simples, a maneira mais direta e elementar é resolver a restrição para uma variável (por exemplo
em função de ), substituir na função e transformar o problema em otimização de uma função de uma só variável. Esse método evita conceitos mais avançados (como multiplicadores de Lagrange) e é o que normalmente funciona melhor em prova quando a restrição é simples. - Depois de obter uma função
de única variável, usamos cálculo básico: derivada para achar pontos críticos e segunda derivada para classificar (máximo se segunda derivada negativa, mínimo se positiva). Também verificamos comportamento quando para ver se há extremos globais ou se a função é não limitada.
Passo 3
Expressar
pela restrição e substituir em
.
- Da restrição
isolamos :
- Substituindo em
obtemos uma função de só:
- Agrupando termos semelhantes:
Agora o problema virou: encontrar máximos/minimos de
para
.]
Passo 4
Calcular a derivada de
, achar pontos críticos.
- Derivada de
:
- Zerar a derivada para obter pontos críticos:
Passo 5
Classificar o ponto crítico com a segunda derivada e entender o comportamento global.
- Segunda derivada:
- Como
, pelo teste da segunda derivada em uma variável, é côncava para baixo naquele ponto, portanto é um ponto de máximo local. Para uma parábola com coeficiente de negativo ( ), esse máximo é também o máximo global de (a parábola abre para baixo). - Determinar
correspondente: usando ,
- Valor da função no ponto:
- Sobre mínimos: como
é uma parábola que tende a quando (porque o coeficiente de é negativo), não existe mínimo global ao longo da reta; a função é não limitada inferiormente sobre a reta de restrição. Logo, não há ponto de mínimo sujeito à restrição. - Pontos de sela: em problemas de otimização com restrição de igualdade numa curva, o conceito de “ponto de sela” costuma referir-se a um ponto crítico que não é nem máximo nem mínimo. Aqui o único ponto crítico na reta é um máximo, logo não há ponto de sela sujeito à restrição.
Passo 6
Resumo final e interpretação (um empurrãozinho de ânimo).
- Encontramos um único ponto crítico na reta de restrição; por conta da concavidade (segunda derivada negativa) é um máximo global sobre a reta. Não há mínimos porque a função vai a
quando tende a ao longo da restrição. - Mandando ver na prova: isolar
, reduzir para uma função quadrática em , derivar, achar a raiz da derivada e usar a segunda derivada para classificar — receita rápida e segura quando a restrição é linear. Você conseguiu!
Resposta
Ponto de máximo:
com
.
Não existe ponto de mínimo (a função é não limitada inferiormente sobre a reta de restrição).
Não há pontos de sela sujeitos à restrição.
Não existe ponto de mínimo (a função é não limitada inferiormente sobre a reta de restrição).
Não há pontos de sela sujeitos à restrição.