Encontre os pontos de máximo, mínimo e/ou de sela da função f(x, y)=x y+x-y sujeita à restriçăo 2 x+y=21.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo, mínimo e/ou de sela da função f(x,y)=x y+x-y sujeitos à restrição linear 2x+y=21.
Informações dadas:
  • A função objetivo é f(x,y)=x y+x-y.
  • A restrição é a equação da reta 2x+y=21.
O que é pedido:
  • Determinar, entre os pontos (x,y) que satisfazem 2x+y=21, quais correspondem a máximos, mínimos ou pontos de sela de f (se existirem), e indicar os valores de f nesses pontos.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (em linguagem simples).
  • Como a restrição é uma equação linear simples, a maneira mais direta e elementar é resolver a restrição para uma variável (por exemplo y em função de x), substituir na função f e transformar o problema em otimização de uma função de uma só variável. Esse método evita conceitos mais avançados (como multiplicadores de Lagrange) e é o que normalmente funciona melhor em prova quando a restrição é simples.
  • Depois de obter uma função g(x) de única variável, usamos cálculo básico: derivada para achar pontos críticos e segunda derivada para classificar (máximo se segunda derivada negativa, mínimo se positiva). Também verificamos comportamento quando x\to\pm\infty para ver se há extremos globais ou se a função é não limitada.

Passo 3

Expressar y pela restrição e substituir em f.
  • Da restrição 2x+y=21 isolamos y:
y=21-2x.
  • Substituindo em f(x,y) obtemos uma função de x só:
\begin{aligned} f(x,21-2x) &= x(21-2x) + x - (21-2x)\\[4pt] &= 21x -2x^{2} + x -21 +2x. \end{aligned}
  • Agrupando termos semelhantes:
\begin{aligned} 21x + x + 2x &= 24x,\\[4pt] \text{logo } g(x):=f(x,21-2x) &= -2x^{2} +24x -21. \end{aligned}
Agora o problema virou: encontrar máximos/minimos de g(x)=-2x^{2}+24x-21 para x\in\mathbb{R}.]

Passo 4

Calcular a derivada de g, achar pontos críticos.
  • Derivada de g:
g'(x) = \frac{d}{dx}\big(-2x^{2}+24x-21\big) = -4x +24.
  • Zerar a derivada para obter pontos críticos:
-4x +24 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=6.

Passo 5

Classificar o ponto crítico com a segunda derivada e entender o comportamento global.
  • Segunda derivada:
g''(x) = \frac{d}{dx}(-4x+24) = -4.
  • Como g''(6) = -4 < 0, pelo teste da segunda derivada em uma variável, g é côncava para baixo naquele ponto, portanto x=6 é um ponto de máximo local. Para uma parábola com coeficiente de x^{2} negativo ( -2), esse máximo é também o máximo global de g (a parábola abre para baixo).
  • Determinar y correspondente: usando y=21-2x,
y = 21 - 2\cdot 6 = 21 - 12 = 9.
  • Valor da função no ponto:
f(6,9) = g(6) = -2\cdot 6^{2} +24\cdot 6 -21 = -72 +144 -21 = 51.
  • Sobre mínimos: como g(x) é uma parábola que tende a -\infty quando |x|\to\infty (porque o coeficiente de x^{2} é negativo), não existe mínimo global ao longo da reta; a função é não limitada inferiormente sobre a reta de restrição. Logo, não há ponto de mínimo sujeito à restrição.
  • Pontos de sela: em problemas de otimização com restrição de igualdade numa curva, o conceito de “ponto de sela” costuma referir-se a um ponto crítico que não é nem máximo nem mínimo. Aqui o único ponto crítico na reta é um máximo, logo não há ponto de sela sujeito à restrição.

Passo 6

Resumo final e interpretação (um empurrãozinho de ânimo).
  • Encontramos um único ponto crítico na reta de restrição; por conta da concavidade (segunda derivada negativa) é um máximo global sobre a reta. Não há mínimos porque a função vai a -\infty quando x tende a \pm\infty ao longo da restrição.
  • Mandando ver na prova: isolar y, reduzir para uma função quadrática em x, derivar, achar a raiz da derivada e usar a segunda derivada para classificar — receita rápida e segura quando a restrição é linear. Você conseguiu!

Resposta

Ponto de máximo: (6,9) com f(6,9)=51.
Não existe ponto de mínimo (a função é não limitada inferiormente sobre a reta de restrição).
Não há pontos de sela sujeitos à restrição.

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