Determine a saída y(t) de um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é h(t)=2 e^-2 t u(t) quando a entrada x(t)=3 e^-t u(t). Use a propriedade da convolução da transformada de Fourier x(t) * h(t) stackrelF Tlong<=ftrightarrow X(j omega) Y(j omega)

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um sistema LTI (linear e invariante no tempo) com resposta ao impulso
h(t) = 2,e^-2t,u(t)
e entrada
x(t) = 3,e^-t,u(t),
O que a questão pede é achar a saída x(t)*h(t) ;long<=ftrightarrow; X(jomega),H(jomega) .
Eles sugerem usar a propriedade de convolução via Transformada de Fourier, ou seja:
Então, para resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber a transformada de Fourier de .
  2. Fazer a multiplicação .
  3. Inverter a transformada com frações parciais.

Passo 2

Primeiro, qual é a TF (transformada de Fourier) de Fe^-atu(t)(jomega) = integral0^infty e^-at,e^-jomega t,dt = 1a + jomega, Re(a)>0 ?
Teoria rápida:
X(jomega) = 3;11 + jomega = 31 + jomega
Aplicando aos nossos sinais:
  • Para H(jomega) = 2;12 + jomega = 22 + jomega temos
  • Para temos

Passo 3

Agora é só multiplicar no domínio de frequência:
Y(jomega) = X(jomega),H(jomega) = 31 + jomega;cdot;22 + jomega = 6(1 + jomega)(2 + jomega)

Passo 4

Para inverter a TF, a gente usa frações parciais. Queremos escrever
6(jomega+1)(jomega+2) = Ajomega+1 + Bjomega+2
Multiplicando tudo por 6 = A,(jomega+2) + B,(jomega+1) :
Y(jomega) = 6jomega+1 ;-; 6jomega+2
Comparando coeficientes de e constantes:
  • Coeficiente de : .
  • Termo constante: .
    Daí e , logo .
    Então

Passo 5

Aí é tranquilo fazer a inversa, usando de novo
F^-1!1a + jomega = e^-a t,u(t)
Logo
y(t) = 6,e^-1cdot t,u(t);-;6,e^-2cdot t,u(t) = 6l(e^-t - e^-2tr),u(t)

Resposta

boxedy(t) = 6l(e^-t - e^-2tr),u(t)

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