Determine x(t) cujas transformadas de Fourier são dadas por
  • X(j omega)=-j omega(j omega)^2+3 j omega+2

Passo 1

O enunciado pede pra achar a forma no tempo X(jomega);=;-,jomega(jomega)^2 +3,jomega +2 sabendo que a transformada de Fourier é
Isso é parte de transformadas de Fourier de sinais racionais. Pra resolver a gente vai:
  1. fatorar o denominador;
  2. fazer frações parciais;
  3. usar a tabela de transformada inversa (por ex. ).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o polinômio do denominador s^2 +3s +2 = (s+1)(s+2) .
Note que, se chamarmos (jomega)^2 +3,jomega +2 = (jomega+1)(jomega+2) , ele vira
Voltando a , temos

Passo 3

Agora expressamos
X(jomega) ;=;-,jomega(jomega+1)(jomega+2)
em frações parciais:
-jomega(jomega+1)(jomega+2) = Ajomega+1 ;+;Bjomega+2
Multiplicando ambos os lados por -(jomega) = A,(jomega+2) + B,(jomega+1)
-(jomega) = A,jomega +2A + B,jomega + B = (A+B),jomega + (2A+B)
Expandindo:
A + B = -1, 2A + B = 0
Comparando coeficientes de A + (-2A) = -1 ;;Rightarrow;; -A=-1 ;;Rightarrow;; A=1, e da parte constante:
X(jomega) = 1jomega+1 ;-; 2jomega+2
Da segunda equação . Substituindo na primeira:
e daí .
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Passo 4

Agora a gente usa a tabela básica de transformadas inversas. A forma chave é:
Fe^-a tu(t) = 1a + jomega, Re(a)>0
Então
1jomega+1 ;xrightarrow F^-1; e^-1cdot t,u(t), 1jomega+2 ;xrightarrow F^-1; e^-2cdot t,u(t)

Passo 5

Como x(t) = e^-tu(t) ;-; 2,e^-2tu(t) , a transformada inversa é a soma/diferença dos dois termos:

Resposta

boxedx(t) = l(e^-t - 2,e^-2tr),u(t)

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