Determine
cujas transformadas de Fourier são dadas por
-
Passo 1
O enunciado pede pra achar a forma no tempo
sabendo que a transformada de Fourier é
Isso é parte de transformadas de Fourier de sinais racionais. Pra resolver a gente vai:
- fatorar o denominador;
- fazer frações parciais;
- usar a tabela de transformada inversa (por ex.
).
Passo 2
Primeiro, fatoramos o polinômio do denominador
.
Note que, se chamarmos , ele vira
Note que, se chamarmos
Voltando a
, temos
Passo 3
Agora expressamos
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
dá
Expandindo:
Comparando coeficientes de
e da parte constante:
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
e daí
.
Logo
Passo 4
Agora a gente usa a tabela básica de transformadas inversas. A forma chave é:
Então
Passo 5
Como
x(t) = e^-tu(t) ;-; 2,e^-2tu(t) , a transformada inversa é a soma/diferença dos dois termos: