Determine a saída
de um sistema linear invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
para a entrada
tal que
,
.
Passo 1
Beleza, o exercício manda achar a saída
de um sistema LTI cuja resposta ao impulso é
quando a entrada tem transformada de Z
Isso é conteúdo de Análise de Sinais e Sistemas: vamos usar Z-transformada e a propriedade de convolução (ou, equivalentemente, multiplicar
por
e depois inverter a Z-transformada). O que precisamos saber:
- Inverter
para achar . - Propriedades de deslocamento de delta e de degrau unitário.
- Convolução no domínio do tempo ou, mais simples, usar soma de impulsos deslocados.
Passo 2
Primeiro, invertemos
. Lembre que
Aqui, porém, temos
, que equivale a
(um impulso em
), e
vira
.
Logo
Logo
Passo 3
Como o sistema é LTI, a saída é a convolução
Mas
só joga valor em
e em
. Então
Passo 4
Basta substituir
. Temos
Logo
Então