Determine a Transformada
inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
e)
e)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a transformada inversa de
Isso é Z‐transformada, e a gente vai precisar de:
- Decompor em frações parciais.
- Saber as séries usuais de Z‐transformadas (tanto para sequências causais quanto anticausais), usando a ROC pra decidir o “lado” do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais:
Multiplicando tudo por
:
Isso dá o sistema
Da segunda equação
, vem
. Substituindo na primeira:
Logo
Passo 3
Agora olhamos pra ROC
. Isso indica que a primeira parcela é causal (já que precisa de
) e a segunda é anticausal (já que precisa de
).
Vamos expandir cada uma:
Vamos expandir cada uma:
a) Para
:
[
-\frac{0.5}{z-0.5}
-\frac{0.5}{z,\bigl(1-0.5z^{-1}\bigr)}
-0.5,\frac{z{-1}}{1-0.5z{-1}}
-0.5\sum_{n=1}{\infty}(0.5){,n-1}z^{-n}.
]
]
Isso gera, para
:
Passo 4
b) Para
:
[
-\frac{2}{z+2}
-\frac{2}{2,\bigl(1+\tfrac{z}{2}\bigr)}
-1;\frac{1}{1+,\tfrac{z}{2}}
- \sum_{k=0}{\infty}(-1)k\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)^k,
]
válido quando
, isto é
.
Escrevendo em potências de
, reconhecemos que isso gera termos em
, ou seja, sequência pra
. Se chamarmos
, obtemos para
:
[
x[n]^{(2)}
(-1){,1-n},2n.
]
]
Passo 5
Agora é só juntar as duas partes num único
, lembrando que a parte causal vale pra
e a parte anticausal vale pra
. Não há sobreposição em
.