Determine a Transformada Z inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
e) X(z)=-2.5 z(z-0.5)(z+2), 0.5<|z|<2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a transformada inversa de
X(z) ;=;-2.5,z(z-0.5)(z+2) com ROC;0.5<|z|<2
Isso é Z‐transformada, e a gente vai precisar de:
  1. Decompor em frações parciais.
  2. Saber as séries usuais de Z‐transformadas (tanto para sequências causais quanto anticausais), usando a ROC pra decidir o “lado” do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais:
-2.5,z(z-0.5)(z+2) ;=; Az-0.5;+;Bz+2
Multiplicando tudo por -2.5,z = A,(z+2) + B,(z-0.5) :
A + B = -2.5, 2A - 0.5,B = 0
Isso dá o sistema
0.25B + B = 1.25B = -2.5 ;Longrightarrow; B=-2, A=-0.5
Da segunda equação X(z)=;-0.5z-0.5;-;2z+2 , vem . Substituindo na primeira:
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Passo 3

Agora olhamos pra ROC -0.5z-0.5 = -0.5z,l(1-0.5z^-1r) = -0.5,z^-11-0.5z^-1 = -0.5sumn=1^infty(0.5)^,n-1z^-n . Isso indica que a primeira parcela é causal (já que precisa de x[n]^(1)=-0.5,(0.5)^n-1=-0.5^n ) e a segunda é anticausal (já que precisa de ).
Vamos expandir cada uma:

a) Para :
[
-\frac{0.5}{z-0.5}

-\frac{0.5}{z,\bigl(1-0.5z^{-1}\bigr)}

-0.5,\frac{z{-1}}{1-0.5z{-1}}

-0.5\sum_{n=1}{\infty}(0.5){,n-1}z^{-n}.
]
Isso gera, para :

Passo 4

b) Para -2z+2 = -22,l(1+tfracz2r) = -1;11+,tfracz2 = - sumk=0^infty(-1)^kl(tfracz2r)^k, :
[
-\frac{2}{z+2}

-\frac{2}{2,\bigl(1+\tfrac{z}{2}\bigr)}

-1;\frac{1}{1+,\tfrac{z}{2}}

  • \sum_{k=0}{\infty}(-1)k\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)^k,
    ]

válido quando x[n]^(2) = (-1)^,1-n,2^n , isto é .
Escrevendo em potências de , reconhecemos que isso gera termos em , ou seja, sequência pra . Se chamarmos , obtemos para :
[
x[n]^{(2)}

(-1){,1-n},2n.
]

Passo 5

Agora é só juntar as duas partes num único , lembrando que a parte causal vale pra e a parte anticausal vale pra . Não há sobreposição em .

Resposta

x[n] = (-1)^,1-n,2^n, & n<= 0,[6pt] -0.5^n, & n>= 1

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