A sequência x[n] tem transformada Z dada por
X(z)=9(z-0.5)^2(z+0.5)^3, |z|>0.5
Determine:
b) x[0]

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos a sequência X(z)=9(z-0.5)^2(z+0.5)^3, |z|>0.5 cuja transformada é
O que queremos calcular é só o valor . O conteúdo principal é a definição de Série de Potências (Transformada ) e a propriedade de que, para uma sequência causal, aparece como o termo constante de .

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de transformada X(z) ;=;sumn=-infty^+infty x[n],z^-n :
Se a sequência for causal (isto é, para ) e a região de convergência é , isso indica que só há termos com .

Passo 3

Repara que, na soma
X(z)=x[0],z^0 + x[1],z^-1 + x[2],z^-2 + cdots,
quando a gente faz x[0] ;=;limztoinfty X(z) , todos os termos com vão a zero. O único que sobra é justamente . Logo vale a propriedade simples:

Passo 4

Agora aplicamos essa ideia ao nosso x[0] =limztoinfty 9(z-0.5)^2(z+0.5)^3 :
limztoinfty 9(z-0.5)^2(z+0.5)^3 =limztoinfty 9z^5=0
Para , cada fator , então o denominador cresce como . Assim

Resposta

boxedx[0]=0

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