Determine quando u e v são L D ou L I.
u=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 4 \\\\ 3 & 0 & -1\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{ccc}2 & -4 & 8 \\\\ 6 & 0 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá duas “matrizes–vetor” (ou vetores em M_{2\times3}(\mathbb{R}))
u=\begin{pmatrix}1 & -2 & 4 \\\\ 3 & 0 & -1\end{pmatrix}, \qquad v=\begin{pmatrix}2 & -4 & 8 \\\\ 6 & 0 & -2\end{pmatrix},
e pede para decidir se u e v são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso vamos usar a definição: são LD se existe \alpha\neq0 tal que v=\alpha\,u; caso contrário são LI.

Passo 2

Suponhamos que haja \alpha tal que
v=\alpha\,u.
Então cada entrada de v deve ser \alpha vezes a entrada correspondente de u. Por exemplo, na entrada da primeira linha e primeira coluna:
2=\alpha\cdot1\quad\Longrightarrow\quad \alpha=2.

Passo 3

Para verificar consistência, conferimos as demais entradas com \alpha=2:
-4\overset{?}{=}2\cdot(-2),\; 8\overset{?}{=}2\cdot4,\; 6\overset{?}{=}2\cdot3,\; 0\overset{?}{=}2\cdot0,\; -2\overset{?}{=}2\cdot(-1).
Todas essas igualdades conferem, logo de fato
v=2\,u.
Isso mostra que existe escala não nula que leva u em v, ou seja, são linearmente dependentes.

Resposta

u e v são linearmente dependentes.

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