Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial de V.
V=M(n \times n), W=\{B \in M(n \times n) ; \operatorname{tr}(B)=0\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial
V = M(n\times n),
ou seja, todas as matrizes quadradas de ordem n, e o subconjunto
W = \{\,B\in M(n\times n)\mid \operatorname{tr}(B)=0\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, usamos o critério padrão:
  1. 0\in W.
  2. Se B,C\in W então B+C\in W.
  3. Se B\in W e \alpha é escalar, então \alpha B\in W.

Passo 2

Verificar que o vetor zero está em W. A matriz zero 0 pertence a M(n\times n) e satisfaz
\operatorname{tr}(0)=0,
logo 0\in W.

Passo 3

Verificar fechamento de W sob adição. Se B,C\in W, então
\operatorname{tr}(B)=0 \quad\text{e}\quad \operatorname{tr}\text{(C)}=0.
Pela linearidade da traça,
\operatorname{tr}(B+C) =\operatorname{tr}(B)+\operatorname{tr}\text{(C)} =0+0 =0,
portanto B+C\in W.

Passo 4

Verificar fechamento de W sob multiplicação escalar. Se B\in W e \alpha é escalar, então
\operatorname{tr}(\alpha B) =\alpha\,\operatorname{tr}(B) =\alpha\cdot0 =0,
logo \alpha B\in W.

Resposta

W é de fato um subespaço vetorial de V.

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