Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e depois classificar cada ponto como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, os possíveis pontos críticos.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 5
Resolvendo a segunda equação para
:
Agora, resolvendo a primeira equação para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
ou
.
Passo 6
Os pontos críticos são então:
Passo 7
Para classificar esses pontos, vamos usar a segunda derivada. Calculamos as derivadas segundas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto:
-
Ponto (1, 1):Como
, é um mínimo relativo. -
Ponto (1, -1):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto (-2, 1):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto (-2, -1):Como
, é um máximo relativo.
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
-
: mínimo relativo -
: ponto de sela -
: ponto de sela -
: máximo relativo