Determine o conjunto-verdade da proposição abaixo (a variável livre é o número real
):
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (tudo que aparece no problema, sem resolver ainda):
- A variável livre é
(ou seja, queremos o conjunto-verdade em termos de e só consideramos ). - A proposição cuja verdade queremos avaliar é
- O que se pede: determinar o conjunto-verdade, isto é, todos os valores de
para os quais existe um número que torna verdadeira a fórmula .
Passo 2
Entendendo a lógica quantificadora e a implicação (aula rápida e necessária):
- A expressão
significa: existe pelo menos um número real tal que a propriedade seja verdadeira. Aqui é a fórmula . - A expressão
significa: para todo , se for verdadeiro então tem de ser verdadeiro. Em outras palavras, precisa valer para todos os que satisfazem . - Aplicando ao nosso caso: para um dado
, a condição diz que "para todo menor que , devemos ter ". Ou seja, a desigualdade precisa valer para todo que está no intervalo aberto .
Passo 3
Analisando para um
fixo: condição necessária (se falhar, a fórmula é falsa para esse
).
- Observe que no predicado "para todo
" podemos escolher arbitrariamente próximos de , mas sempre menores que . Portanto, se mesmo aproximando-se de por baixo a desigualdade for violada, a condição não vale. - Calcule o valor limite do lado esquerdo quando
: ele tende a . Logo, se
então a desigualdade será violada por alguns
suficientemente próximos de
, e assim
seria falsa para esse
.
- Para tornar essa ideia formal: se
então . Tome . Então escolha
que satisfaz
e, ao calcular,
Isso mostra que, quando
, existe
com
, portanto a condição universal falha. Conclusão: é necessário ter
Passo 4
Mostrando que a condição encontrada é também suficiente (se ela valer, então a propriedade universal vale para todo
).
- Suponha que
- Para qualquer
com temos (porque multiplicar por 2 preserva a desigualdade estrita). Assim
logo
. Isso vale para todo
. Portanto, sob a hipótese
, a fórmula
é verdadeira.
- Assim, para um
fixo, a equivalência foi estabelecida:
Passo 5
Traduzindo a desigualdade em termos de
e usando a existência de
:
- A desigualdade
simplifica-se para
- Portanto, a propriedade
(isto é, ) é equivalente a . - Lembrando que precisamos de
, a questão becomes: existe algum tal que ? Isso é verdade exatamente quando , ou seja, quando . - Mais concretamente, se
então podemos escolher, por exemplo, (que é positivo) ou qualquer ; para esse a condição vale. Se então e não existe com .
Passo 6
Concluindo o conjunto-verdade e dando um exemplo construtivo (encorajamento rápido):
- Portanto a existência de um
com a propriedade pedida acontece exatamente quando . - Como o enunciado já restringiu a variável livre a
, a resposta é que a proposição é verdadeira para todos os considerados. - Exemplo construtivo: dado qualquer
, escolha . Então e, para todo , tem-se , logo a fórmula fica verdadeira.