Determine o conjunto-verdade da proposição abaixo (a variável livre é o número real e>0 ):
\exists d>0 \mid \forall x, x<1+d \Rightarrow 2 x<2+e

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (tudo que aparece no problema, sem resolver ainda):
  • A variável livre é \,e>0\, (ou seja, queremos o conjunto-verdade em termos de \,e\, e só consideramos \,e>0).
  • A proposição cuja verdade queremos avaliar é
\exists d>0\\ \mid\\ \forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2+e.
  • O que se pede: determinar o conjunto-verdade, isto é, todos os valores de \,e>0\, para os quais existe um número \,d>0\, que torna verdadeira a fórmula \forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2+e.

Passo 2

Entendendo a lógica quantificadora e a implicação (aula rápida e necessária):
  • A expressão \exists d>0\\ \mid\\ \Phi(d) significa: existe pelo menos um número real \,d>0\, tal que a propriedade \Phi(d) seja verdadeira. Aqui \Phi(d) é a fórmula \forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2+e.
  • A expressão \forall x,\\ P(x)\Rightarrow Q(x) significa: para todo x, se P(x) for verdadeiro então Q(x) tem de ser verdadeiro. Em outras palavras, Q(x) precisa valer para todos os x que satisfazem P(x).
  • Aplicando ao nosso caso: para um dado d>0, a condição \forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2+e diz que "para todo x menor que 1+d, devemos ter 2x<2+e". Ou seja, a desigualdade 2x<2+e precisa valer para todo x que está no intervalo aberto (-\infty,\,1+d).

Passo 3

Analisando para um d>0 fixo: condição necessária (se falhar, a fórmula é falsa para esse d).
  • Observe que no predicado "para todo x<1+d" podemos escolher x arbitrariamente próximos de 1+d, mas sempre menores que 1+d. Portanto, se mesmo aproximando-se de 1+d por baixo a desigualdade 2x<2+e for violada, a condição não vale.
  • Calcule o valor limite do lado esquerdo quando x\to(1+d)^-: ele tende a 2(1+d). Logo, se
2(1+d) > 2+e
então a desigualdade será violada por alguns x<1+d suficientemente próximos de 1+d, e assim \forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2+e seria falsa para esse d.
  • Para tornar essa ideia formal: se 2(1+d) > 2+e então \Delta:=2(1+d)-(2+e)=2d-e>0. Tome 0<\delta<\tfrac{\Delta}{2}. Então escolha
x=(1+d)-\delta,
que satisfaz x<1+d e, ao calcular,
2x = 2(1+d)-2\delta > 2(1+d)-\Delta = 2+e.
Isso mostra que, quando 2(1+d)>2+e, existe x<1+d com 2x\ge 2+e, portanto a condição universal falha. Conclusão: é necessário ter
2(1+d)\le 2+e.

Passo 4

Mostrando que a condição encontrada é também suficiente (se ela valer, então a propriedade universal vale para todo x<1+d).
  • Suponha que
2(1+d)\le 2+e.
  • Para qualquer x com x<1+d temos 2x<2(1+d) (porque multiplicar por 2 preserva a desigualdade estrita). Assim
2x < 2(1+d) \le 2+e,
logo 2x<2+e. Isso vale para todo x<1+d. Portanto, sob a hipótese 2(1+d)\le 2+e, a fórmula \forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2+e é verdadeira.
  • Assim, para um d>0 fixo, a equivalência foi estabelecida:
\bigl(\forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2+e\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad 2(1+d)\le 2+e.

Passo 5

Traduzindo a desigualdade em termos de d e usando a existência de d>0:
  • A desigualdade 2(1+d)\le 2+e simplifica-se para
2 + 2d \le 2 + e \quad\Longleftrightarrow\quad 2d \le e \quad\Longleftrightarrow\quad d \le \frac{e}{2}.
  • Portanto, a propriedade \Phi(d) (isto é, \forall x,\\ x<1+d \Rightarrow 2x<2+e) é equivalente a d\le \dfrac{e}{2}.
  • Lembrando que precisamos de d>0, a questão becomes: existe algum d>0 tal que d\le \dfrac{e}{2}? Isso é verdade exatamente quando \dfrac{e}{2}>0, ou seja, quando e>0.
  • Mais concretamente, se e>0 então podemos escolher, por exemplo, d=\dfrac{e}{2} (que é positivo) ou qualquer 0<d\le\dfrac{e}{2}; para esse d a condição vale. Se e\le 0 então \dfrac{e}{2}\le 0 e não existe d>0 com d\le\dfrac{e}{2}.

Passo 6

Concluindo o conjunto-verdade e dando um exemplo construtivo (encorajamento rápido):
  • Portanto a existência de um d>0 com a propriedade pedida acontece exatamente quando e>0.
  • Como o enunciado já restringiu a variável livre a e>0, a resposta é que a proposição é verdadeira para todos os e considerados.
  • Exemplo construtivo: dado qualquer \,e>0, escolha d=\dfrac{e}{2}>0. Então 2(1+d)=2+e e, para todo x<1+d, tem-se 2x<2+e, logo a fórmula fica verdadeira.

Resposta

(0,\infty)

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