Determine as segeintes integrais indefindas.
\int 2 x^{3}+4 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2x^{3}+4x+1\;dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 2x^{3}+4x+1.
  • A variável de integração é x.
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) geral, portanto incluir constante arbitrária C.

Passo 2

Ideia e regra que vamos usar (explicação didática e simples).
  • A integral é linear: para quaisquer constantes a e b e funções f,g,
\int \big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto permite integrar termo a termo.
  • Regra potência (power rule) para integrais: para todo número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação de por que isso é verdade (derivação curta): se definirmos F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, então pela regra da potência para derivadas,
F'(x)=\frac{1}{n+1}\cdot (n+1)x^{n}=x^{n},
ou seja, F é uma primitiva de x^{n}. A constante C aparece porque primitiva é definida até uma constante aditiva.
  • Integral de constante: para constante k,
\int k\,dx = kx + C,
pois a derivada de kx é k.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo à integral dada.
  1. Separe os termos usando linearidade:
\int 2x^{3}+4x+1\;dx = \int 2x^{3}\,dx + \int 4x\,dx + \int 1\,dx.
  1. Integre cada termo:
  • Para \int 2x^{3}\,dx: tire a constante 2 para fora e use a regra potência com n=3:
\int 2x^{3}\,dx = 2\int x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{2}.
  • Para \int 4x\,dx: tire 4 para fora e use a regra potência com n=1:
\int 4x\,dx = 4\int x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2} = 2x^{2}.
  • Para \int 1\,dx: usando a integral de constante,
\int 1\,dx = x.
  1. Somando as primitivas e adicionando a constante C:
\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+x+C.

Passo 4

Verificação rápida por diferenciação (para aumentar a confiança): derivando a função obtida,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+x+C\right) = \frac{1}{2}\cdot 4x^{3} + 4x + 1 = 2x^{3}+4x+1,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{x^{4}}{2}+2x^{2}+x+C

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