Determine as segeintes integrais indefindas.
\int 2 x^{3}+4 x+1 d x
\int 2 x^{3}+4 x+1 d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Quer-se uma primitiva (antiderivada) geral, portanto incluir constante arbitrária
.
Passo 2
Ideia e regra que vamos usar (explicação didática e simples).
- A integral é linear: para quaisquer constantes
e e funções ,
Isto permite integrar termo a termo.
- Regra potência (power rule) para integrais: para todo número real
,
Explicação de por que isso é verdade (derivação curta): se definirmos
, então pela regra da potência para derivadas,
ou seja,
é uma primitiva de
. A constante
aparece porque primitiva é definida até uma constante aditiva.
- Integral de constante: para constante
,
pois a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando as regras termo a termo à integral dada.
- Separe os termos usando linearidade:
- Integre cada termo:
- Para
: tire a constante para fora e use a regra potência com :
- Para
: tire para fora e use a regra potência com :
- Para
: usando a integral de constante,
- Somando as primitivas e adicionando a constante
:
Passo 4
Verificação rápida por diferenciação (para aumentar a confiança): derivando a função obtida,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.