Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \frac{2}{(5 x-6)^{3}} d x
\int \frac{2}{(5 x-6)^{3}} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- O integrando é uma função racional simples com numerador constante
e denominador . - É uma integral indefinida, então a resposta deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (explicação didática):
Uma boa estratégia para integrais do tipo é usar a substituição
. A razão é que a derivada de
em relação a
é uma constante (
), o que permite transformar a integral em uma potência simples de
.
Uma boa estratégia para integrais do tipo
Regra que usamos (explicada): se
e
, então
No nosso caso há um fator linear
elevado a uma potência, então a substituição vai simplificar direto.
Passo 3
Fazer a substituição:
Defina . Então
Defina
Substituindo na integral:
Passo 4
Integrar em
:
Usamos a regra da potência para integrar : para
,
Usamos a regra da potência para integrar
Aqui
, portanto
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 5
Voltar para a variável original
:
Substituindo de volta,
Substituindo
Passo 6
Verificação rápida (derivando para checar):
Calcule a derivada de :
Calcule a derivada de
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.