Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \frac{2}{(5 x-6)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{2}{(5 x-6)^{3}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é uma função racional simples com numerador constante 2 e denominador (5x-6)^{3}.
  • É uma integral indefinida, então a resposta deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática):
Uma boa estratégia para integrais do tipo \int \frac{\text{constante}}{(ax+b)^{n}}\,dx é usar a substituição u=ax+b. A razão é que a derivada de u em relação a x é uma constante ( a), o que permite transformar a integral em uma potência simples de u.
Regra que usamos (explicada): se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
No nosso caso há um fator linear 5x-6 elevado a uma potência, então a substituição vai simplificar direto.

Passo 3

Fazer a substituição:
Defina u=5x-6. Então
\frac{du}{dx}=5\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{5}.
Substituindo na integral:
\int \frac{2}{(5 x-6)^{3}}\,dx = \int \frac{2}{u^{3}}\cdot\frac{du}{5} = \frac{2}{5}\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Integrar em u:
Usamos a regra da potência para integrar u^{m}: para m\neq -1,
\int u^{m}\,du = \frac{u^{m+1}}{m+1}+C.
Aqui m=-3, portanto
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2}+C.
Multiplicando pelo fator \frac{2}{5} obtemos
\frac{2}{5}\int u^{-3}\,du = \frac{2}{5}\cdot\frac{u^{-2}}{-2}+C = -\frac{1}{5}u^{-2}+C.

Passo 5

Voltar para a variável original x:
Substituindo u=5x-6 de volta,
-\frac{1}{5}u^{-2}+C = -\frac{1}{5}(5x-6)^{-2}+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando para checar):
Calcule a derivada de -\dfrac{1}{5}(5x-6)^{-2}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{5}(5x-6)^{-2}\right) = -\frac{1}{5}\cdot(-2)(5x-6)^{-3}\cdot 5 = 2(5x-6)^{-3},
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

-\frac{1}{5}(5x-6)^{-2}+C

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