Determine as segeintes integrais indefindas.
\int x \sqrt{x^{2}-8} d x
\int x \sqrt{x^{2}-8} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de
por
. Não há mais condições; a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Escolher uma estratégia: observar que dentro da raiz aparece
e que existe um fator
fora da raiz. Isso sugere a substituição por uma nova variável
igual ao conteúdo da raiz, porque a derivada de
é
, que é proporcional a
presente na integranda. Portanto escolho
Passo 3
Calcular a diferencial
e expressar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Logo
Passo 4
Fazer a troca de variável na integral substituindo
e
. A raiz
fica
. Assim a integral transforma-se em
Colocando o fator constante fora da integral:
Passo 5
Integrar usando a regra de potências para integrais: para qualquer
,
Aqui
, portanto
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 6
Voltar à variável
substituindo
. Assim obtemos a primitiva:
Observação sobre domínio: a expressão
exige
(ou interpreta-se a raiz principal complexa), então a fórmula é válida para
com
. Em integração indefinida usamos a forma simbólica acima com
.
Passo 7
Verificação rápida diferenciando a resposta para checar: derivando
usando a cadeia dá
o que confirma que a primitiva está correta.