Determine as segeintes integrais indefindas.
\int x \sqrt{x^{2}-8} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{x^{2}-8}\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de x por \sqrt{x^{2}-8}. Não há mais condições; a resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Escolher uma estratégia: observar que dentro da raiz aparece x^{2}-8 e que existe um fator x\,dx fora da raiz. Isso sugere a substituição por uma nova variável u igual ao conteúdo da raiz, porque a derivada de x^{2}-8 é 2x, que é proporcional a x presente na integranda. Portanto escolho
u = x^{2}-8.

Passo 3

Calcular a diferencial du e expressar x\,dx em termos de du. Derivando u em relação a x:
du = 2x\,dx.
Logo
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Fazer a troca de variável na integral substituindo u e x\,dx. A raiz \sqrt{x^{2}-8} fica \sqrt{u}. Assim a integral transforma-se em
\int x \sqrt{x^{2}-8}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot \frac{1}{2}\,du.
Colocando o fator constante fora da integral:
\int x \sqrt{x^{2}-8}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Integrar usando a regra de potências para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, portanto
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{1}{3}u^{3/2}+C.

Passo 6

Voltar à variável x substituindo u=x^{2}-8. Assim obtemos a primitiva:
\int x \sqrt{x^{2}-8}\,dx = \frac{1}{3}\bigl(x^{2}-8\bigr)^{3/2}+C.
Observação sobre domínio: a expressão \sqrt{x^{2}-8} exige x^{2}\ge 8 (ou interpreta-se a raiz principal complexa), então a fórmula é válida para x com x^{2}\ge 8. Em integração indefinida usamos a forma simbólica acima com C.

Passo 7

Verificação rápida diferenciando a resposta para checar: derivando \frac{1}{3}(x^{2}-8)^{3/2} usando a cadeia dá
\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}(x^{2}-8)^{1/2}\cdot 2x = x\sqrt{x^{2}-8},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{3}\bigl(x^{2}-8\bigr)^{3/2}+C

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