Determine se o seguinte campo de deformações é possível de ocorrer em um material contínuo (considere c como uma constante de valor pequeno):
barE=[ccc c z(x^2+y^2) & c x y z & 0 c x y z & y^2 z & 0 0 & 0 & 0 ]

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente verificar se o campo de deformações
barE= c,z,(x^2+y^2) & c,x,y,z & 0 [6pt] c,x,y,z & y^2,z & 0 [4pt] 0 & 0 & 0
pode realmente vir de algum deslocamento contínuo. Ou seja, é compatível? O assunto é “compatibilidade de deformações” (equações de Saint‐Venant). Pra isso a gente vai usar as equações de compatibilidade que envolvem derivadas segundas de .

Passo 2

Primeiro, anota as componentes não‐nulas:
Exx=c,z,(x^2+y^2), Eyy=y^2,z, Exy=Eyx=c,x,y,z, Exz=Eyz=Ezz=0
A compatibilidade em 3D pede que certas combinações de derivadas segundas se anulem. A forma mais usada é:
  1. e também algumas mistas tipo , etc.

Passo 3

Vamos fazer a primeira:
Exx,yy=partial^2partial y^2l[c,z,(x^2+y^2)r] = c,zcdotpartial^2(x^2+y^2)partial y^2 = c,zcdot 2 = 2c,z
Eyy,xx=partial^2partial x^2(y^2,z) = zcdotpartial^2 y^2partial x^2=0
Exy,xy= partial^2partial xpartial y(c,x,y,z) = partialpartial x(c,y,z) = c,z,
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Exx,yy+Eyy,xx-2Exy,xy =2c,z+0-2(c,z)=0
Então essa satisfaz.

Passo 4

A segunda e terceira equações envolvem e , mas essas componentes são zero, e também dá zero para , etc. Resumindo, dá 0=0 em cada uma.

Passo 5

Agora vem uma das mistas, por exemplo
Exy,yz + Eyz,xy - Eyy,xz - Exz,yy = 0;?
Calculemos termo a termo:
Exy,yz = partial^2partial ypartial z(c,x,y,z) = partialpartial y(c,x,y) = c,x
Eyz,xy= partial^2 0partial xpartial y=0, Eyy,xz= partial^2(y^2z)partial xpartial z = partialpartial x(y^2)=0, Exz,yy=0
Então o lado esquerdo fica
c,x + 0 - 0 - 0 = c,x neq 0
(em geral ).

Resposta

O campo de deformações não satisfaz todas as equações de compatibilidade (falha nas mistas), logo não é possível num corpo contínuo sem descontinuidades.

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