e pede:
a) Encontrar os invariantes .
b) As deformações principais (autovalores).
c) Os cossenos diretores (autovetores) montando a matriz de rotação .
d) Verificar que, ao fazer , fica diagonal com esses autovalores.
e) Desenhar no círculo de Mohr e achar a máxima deformação transversal .
O conteúdo é: teoria de invariantes de tensor (traço, somas de menores, det), autovalores/autovetores de matriz simétrica, diagonalização ortogonal e círculo de Mohr pra 3D. Vamos precisar de cálculo de traço, determinante, equação característica e relações de Mohr.
I2 = (0,002)(0,008)+(0,008)(0)+(0)(0,002) -l((-0,004)^2+(-0,008)^2+(0,004)^2r) = 0,000016 - (0,000016+0,000064+0,000016) = -0,00008 soma dos determinantes dos menores principais de ordem 2, ou pela fórmula
I3 = 0
Substituindo,
. Se fizer o cálculo (ou confiar no enunciado), dá
Esses são os três autovalores, ou seja, as deformações principais:
Passo 4
Agora para cada L = -0,3857 & 0,7715 & -0,5060 0,8944 & 0,4472 & 0 -0,2262 & 0,4526 & 0,8625 resolvemos e normalizamos . O resultado (autovetores normalizados) forma a matriz de rotação ortogonal :
Cada coluna é o vetor direção de um eixo principal.