Dado o seguinte campo de deslocamentos, 0,30,0,90,1,00, qual a deformação normal em ( overrightarrown=0,3 i+0,4 j+0,866 k ), na direção varepsilonn n=0,0027 ?
Resp.:

Passo 1

O enunciado pede a deformação normal
u(x,y,z) =l[6x^2,i+(3+zx),j+(-2+xy),kr]cdot3cdot10^-1,cm
num ponto
na direção unitária
,
dado o campo de deslocamentos
Conteúdo: Cálculo de tensor de deformação linear

e projeção .
Vamos precisar derivar cada componente de , montar e depois projetar na direção .

Passo 2

Primeiro escrevemos cada componente de u1=0,3,(6x^2)=1,8,x^2, u2=0,3,(3+zx)=0,9+0,3,z,x, u3=0,3,(-2+xy)=-0,6+0,3,x,y (já multiplicando o fator u1,1&=partial (1,8x^2)partial x=3,6,x, &u1,2&=0, &u1,3&=0, u2,1&=partial (0,9+0,3zx)partial x=0,3,z, &u2,2&=0, &u2,3&=partial (0,9+0,3zx)partial z=0,3,x, u3,1&=partial (-0,6+0,3xy)partial x=0,3,y, &u3,2&=partial (-0,6+0,3xy)partial y=0,3,x, &u3,3&=0 ):
Agora calculamos as derivadas parciais :

Passo 3

Formamos o tensor de deformação linear
varepsilon11&=u1,1=3,6,x, &varepsilon22&=u2,2=0, &varepsilon33&=u3,3=0, varepsilon12&=tfrac12(u1,2+u2,1)=tfrac12(0+0,3z)=0,15,z, &varepsilon13&=tfrac12(u1,3+u3,1)=tfrac12(0+0,3y)=0,15,y, varepsilon23&=tfrac12(u2,3+u3,2)=tfrac12(0,3x+0,3x)=0,3,x .
Como é simétrico, basta calcular:

Passo 4

Avalia­mos varepsilon11&=3,6cdot0,30=1,08, &varepsilon22&=0, &varepsilon33&=0, varepsilon12&=0,15cdot1,00=0,15, &varepsilon13&=0,15cdot0,90=0,135, &varepsilon23&=0,3cdot0,30=0,09 no ponto
:

Passo 5

A deformação normal na direção varepsilonnn =sumi,jni,varepsilonij,nj =varepsilon11n1^2+varepsilon22n2^2+varepsilon33n3^2 +2,varepsilon12n1n2+2,varepsilon13n1n3+2,varepsilon23n2n3 é
Substituindo , , e os acima,
fazendo as contas, obtemos
.

Resposta

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