Seja
Determine o valor da constante
tal que
satisfaz a equação de difusão
Alerta: aplique a regra da cadeia e a regra do produto cuidadosamente.
A constante
□
Determine o valor da constante
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar a constante
tal que
satisfaça a equação de difusão
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A tarefa é calcular
e
explicitamente, comparar os dois lados da equação e encontrar
. Não vamos assumir nada além disso.
Passo 2
Vamos organizar a função em fatores para aplicar a regra do produto com calma. Definimos
Assim
. Lembrando: a regra do produto para derivadas parciais diz que
. Para derivadas de
usamos a regra da cadeia:
e
. Vou calcular
e
primeiro, porque aparecem em várias contas.
Passo 3
Calcular
e
. Como
temos, diferenciando em relação a
(tratando
como constante),
Diferenciando em relação a
(tratando
como constante),
Estas duas fórmulas serão usadas na sequência.
Passo 4
Calcular
usando regra do produto e cadeia. Primeiro a derivada de
:
Agora, usando
e juntando:
Fatorando
(que é comum):
Passo 5
Agora vamos calcular
e
. Começando por
. Como
depende só de
, temos
Ou seja,
Passo 6
Agora
. Derivamos a expressão obtida para
em função de
. Escrevendo
com
, aplicamos a regra do produto em
:
Calculemos os termos separados. Primeiro
porque
e
é constante quando diferenciamos em
. E lembrando
, temos
Simplificando o segundo termo:
Agora fatorando
:
Passo 7
Agora impomos a equação de difusão
. Substituindo as duas expressões obtidas (ambas têm o fator comum
, que é não nulo para
) obtemos:
Como
para
, podemos cancelar esse fator, ficando
Passo 8
A igualdade acima deve valer para todo
e todo
. Portanto os coeficientes dos termos independentes e dos termos que envolvem
devem coincidir. Comparando os coeficientes de
:
Verificamos também o termo constante:
que confere. Então
é consistente.