Seja u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{t}} e^{-\frac{x^{2}}{20 t}}
Determine o valor da constante \boldsymbol{k} tal que \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}) satisfaz a equação de difusão
\frac{\partial u}{\partial t}=k \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

Alerta: aplique a regra da cadeia e a regra do produto cuidadosamente.

A constante \boldsymbol{k}=

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-\frac{x^{2}}{20t}}
e pede para determinar a constante k tal que u satisfaça a equação de difusão
\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
u(x,t)=t^{-1/2}\,e^{\varphi(x,t)},\qquad \varphi(x,t)=-\frac{x^{2}}{20t}.
A tarefa é calcular \partial u/\partial t e \partial^{2}u/\partial x^{2} explicitamente, comparar os dois lados da equação e encontrar k. Não vamos assumir nada além disso.

Passo 2

Vamos organizar a função em fatores para aplicar a regra do produto com calma. Definimos
A(t)=t^{-1/2},\qquad B(x,t)=e^{\varphi(x,t)},\qquad \varphi(x,t)=-\frac{x^{2}}{20t}.
Assim u(x,t)=A(t)B(x,t). Lembrando: a regra do produto para derivadas parciais diz que \partial_t(AB)=A'\,B + A\,\partial_t B. Para derivadas de B=e^{\varphi} usamos a regra da cadeia: \partial_t B = (\partial_t \varphi)\,B e \partial_x B=(\partial_x\varphi)\,B. Vou calcular \partial_t\varphi e \partial_x\varphi primeiro, porque aparecem em várias contas.

Passo 3

Calcular \partial_t\varphi e \partial_x\varphi. Como
\varphi(x,t)=-\frac{x^{2}}{20}\,t^{-1},
temos, diferenciando em relação a t (tratando x como constante),
\partial_t\varphi = -\frac{x^{2}}{20}\cdot(-1)t^{-2}=\frac{x^{2}}{20}\,t^{-2}.
Diferenciando em relação a x (tratando t como constante),
\partial_x\varphi = -\frac{2x}{20t}=-\frac{x}{10t}.
Estas duas fórmulas serão usadas na sequência.

Passo 4

Calcular \partial u/\partial t usando regra do produto e cadeia. Primeiro a derivada de A(t):
A'(t)=\frac{d}{dt}t^{-1/2}=-\frac{1}{2}t^{-3/2}.
Agora, usando \partial_t B=(\partial_t\varphi)B e juntando:
\frac{\partial u}{\partial t}=A'(t)B + A(t)\,\partial_t B = \left(-\frac{1}{2}t^{-3/2}\right)B + t^{-1/2}\left(\frac{x^{2}}{20}t^{-2}B\right).
Fatorando B\,t^{-3/2} (que é comum):
\frac{\partial u}{\partial t}=B\,t^{-3/2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{x^{2}}{20t}\right).

Passo 5

Agora vamos calcular \partial u/\partial x e \partial^{2}u/\partial x^{2}. Começando por \partial_x u. Como A(t) depende só de t, temos
\frac{\partial u}{\partial x}=A(t)\,\partial_x B = t^{-1/2}\,(\partial_x\varphi)\,B = t^{-1/2}\left(-\frac{x}{10t}\right)B.
Ou seja,
\frac{\partial u}{\partial x}= -\frac{x}{10}\,B\,t^{-3/2}.

Passo 6

Agora \partial^{2}u/\partial x^{2}. Derivamos a expressão obtida para \partial_x u em função de x. Escrevendo \partial_x u = C(x,t)\,B com C(x,t)=-\dfrac{x}{10}t^{-3/2}, aplicamos a regra do produto em x:
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = \partial_x(CB) = (\partial_x C)\,B + C\,(\partial_x B).
Calculemos os termos separados. Primeiro
\partial_x C = -\frac{1}{10}t^{-3/2}
porque C=-\dfrac{x}{10}t^{-3/2} e t é constante quando diferenciamos em x. E lembrando \partial_x B=(\partial_x\varphi)B=-\dfrac{x}{10t}B, temos
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = \left(-\frac{1}{10}t^{-3/2}\right)B + \left(-\frac{x}{10}t^{-3/2}\right)\left(-\frac{x}{10t}B\right).
Simplificando o segundo termo:
\left(-\frac{x}{10}t^{-3/2}\right)\left(-\frac{x}{10t}B\right)=\frac{x^{2}}{100}\,t^{-5/2}B.
Agora fatorando B\,t^{-3/2}:
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=B\,t^{-3/2}\left(-\frac{1}{10}+\frac{x^{2}}{100t}\right).

Passo 7

Agora impomos a equação de difusão \partial_t u = k\,\partial_{x}^{2}u. Substituindo as duas expressões obtidas (ambas têm o fator comum B\,t^{-3/2}, que é não nulo para t>0) obtemos:
B\,t^{-3/2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{x^{2}}{20t}\right) = k\;B\,t^{-3/2}\left(-\frac{1}{10}+\frac{x^{2}}{100t}\right).
Como B\,t^{-3/2}\neq 0 para t>0, podemos cancelar esse fator, ficando
-\frac{1}{2}+\frac{x^{2}}{20t}=k\left(-\frac{1}{10}+\frac{x^{2}}{100t}\right).

Passo 8

A igualdade acima deve valer para todo x e todo t>0. Portanto os coeficientes dos termos independentes e dos termos que envolvem x^{2}/t devem coincidir. Comparando os coeficientes de \dfrac{x^{2}}{t}:
\frac{1}{20}=k\cdot\frac{1}{100}\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1/20}{1/100}=\frac{100}{20}=5.
Verificamos também o termo constante:
-\frac{1}{2}\overset{?}{=}k\left(-\frac{1}{10}\right)=5\left(-\frac{1}{10}\right)=-\frac{1}{2},
que confere. Então k=5 é consistente.

Resposta

k=5

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