Determine se a seguinte operação binária em R é comutativa e/ou associativa.
x * y=1

Passo 1

O enunciado define uma operação binária * em R por
x*y = 1
para todo x,yinR. O objetivo é verificar as propriedades de comutatividade e de associatividade dessa operação.

Passo 2

Para testar comutatividade, lembramos que uma operação é comutativa se, para todo x,y, vale
x*y = y*x
Aqui, para quaisquer x,y,
x*y = 1 e y*x = 1,
logo sempre x*y = y*x. Portanto, a operação é comutativa.

Passo 3

Para testar associatividade, lembramos que uma operação é associativa se, para todo x,y,z, vale
(x*y)*z = x*(y*z)
Aqui, como x*y=1 e y*z=1, temos
(x*y)*z = 1*z = 1 e x*(y*z) = x*1 = 1
Em ambos os casos o resultado é 1, logo (x*y)*z = x*(y*z). Portanto, a operação é associativa.

Resposta

A operação * é comutativa e associativa.

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