Forneça um exemplo de cada caso a seguir (diferente dos dados na sala de aula).
Uma operação binária que seja comutativa e associativa.
Sug: Procure operações em conjuntos pequenos (de três ou quatro elementos).

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de operação binária definida num conjunto pequeno (3 ou 4 elementos) que seja simultaneamente comutativa e associativa. Vamos usar definições básicas:
– Uma operação ast em S é comutativa se, para todo x,yin S,
xast y = yast x
– É associativa se, para todo x,y,zin S,
(xast y)ast z = xast (yast z)

Passo 2

Escolhemos o conjunto
S = 0,1,2
e definimos a operação ast como soma módulo 3, isto é, para a,bin S,
aast b = (a + b) bmod 3

Passo 3

Verificamos a comutatividade. Como a soma em Z é comutativa, temos
a + b = b + a Longrightarrow (a + b)bmod 3 = (b + a)bmod 3,
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aast b = bast a

Passo 4

Verificamos a associatividade. Para a,b,cin S,
(aast b)ast c = l((a + b)bmod 3 + cr)bmod 3 = (a + b + c)bmod 3
e
aast (bast c) = l(a + (b + c)bmod 3r)bmod 3 = (a + b + c)bmod 3
Como ambas reduzem a (a+b+c)bmod 3, segue que
(aast b)ast c = aast (bast c),
ou seja, ast é associativa.

Resposta

No conjunto S=0,1,2, a operação
aast b = (a + b)bmod 3
é um exemplo de operação binária comutativa e associativa.

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