Determine se a seguinte operação binária em
é comutativa e/ou associativa.
Passo 1
O enunciado apresenta a operação binária em
definida por
Precisamos determinar se essa operação é comutativa (isto é, se
para todo
) e se é associativa (isto é, se
para todo
).
Passo 2
Para verificar a comutatividade, basta usar a propriedade do valor absoluto. Para quaisquer
:
Como sempre vale
, concluímos que
para todo
. Logo, a operação é comutativa.
Passo 3
A associatividade exige que, para quaisquer
,
Note que
enquanto
Se essas duas expressões nem sempre forem iguais, a operação não será associativa. Vamos usar um contraexemplo: escolha
x=1 ,
y=3 e
z=4 . Então
mas
Como
2 neq 0 , temos
(x * y)*z neq x*(y*z) e portanto a operação não é associativa.
Resposta
Comutativa: sim.
Associativa: não.
Associativa: não.