Determine se a seguinte operação binária em R é comutativa e/ou associativa.
x * y=|x-y|

Passo 1

O enunciado apresenta a operação binária em R definida por
x * y = lvert x - yrvert
Precisamos determinar se essa operação é comutativa (isto é, se x * y = y * x para todo x,y) e se é associativa (isto é, se (x * y) * z = x * (y * z) para todo x,y,z).

Passo 2

Para verificar a comutatividade, basta usar a propriedade do valor absoluto. Para quaisquer x,yinR:
x * y = lvert x - yrvert e y * x = lvert y - xrvert
Como sempre vale lvert x - yrvert = lvert y - xrvert, concluímos que
x * y = y * x
para todo x,y. Logo, a operação é comutativa.

Passo 3

A associatividade exige que, para quaisquer x,y,zinR,
(x * y) * z = x * (y * z)
Note que
(x * y) * z = llvert lvert x - yrvert - zrrvert,
enquanto
x * (y * z) = llvert x - lvert y - zrvertrrvert
Se essas duas expressões nem sempre forem iguais, a operação não será associativa. Vamos usar um contraexemplo: escolha x=1, y=3 e z=4. Então
x * y = lvert 1 - 3rvert = 2 Longrightarrow (x * y)*z = lvert 2 - 4rvert = 2,
mas
y * z = lvert 3 - 4rvert = 1 Longrightarrow x * (y * z) = lvert 1 - 1rvert = 0
Como 2 neq 0, temos (x * y)*z neq x*(y*z) e portanto a operação não é associativa.

Resposta

Comutativa: sim.
Associativa: não.

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