Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
Cada matriz é equivalente por linhas a uma única matriz na forma escalonada.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Cada matriz é equivalente por linhas a uma única matriz na forma escalonada.”
Informações dadas:
A afirmação fala sobre equivalência por linhas (ou seja, transformações por operações elementares de linha).
A afirmação se refere à forma escalonada (sem especificar “reduzida”).
O objetivo imediato: decidir verdadeiro/falso e justificar de forma didática e passo a passo.
Passo 2
O que significa “equivalente por linhas” e quais operações são permitidas?
Duas matrizes A e B são equivalentes por linhas se é possível obter B a partir de A aplicando uma sequência finita de operações elementares de linha.
As operações elementares de linha são:
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por um escalar não-nulo: R_i \leftarrow c\,R_i com c \neq 0;
adicionar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + c\,R_j.
Essas operações são todas invertíveis (cada uma tem uma operação inversa do mesmo tipo), por isso a relação “é equivalente por linhas” é de fato uma equivalência.
Passo 3
Definição clara de “forma escalonada” (não reduzida):
Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz:
Todas as linhas que são totalmente zero (se houver) estão abaixo das linhas não nulas.
Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de entrada principal ou pivô) fica estritamente à direita do pivô da linha imediatamente acima.
Não é exigido que os pivôs sejam 1 nem que sejam os únicos elementos não nulos em sua coluna (essas exigências pertencem à forma escalonada reduzida).
Aqui os pivôs estão em posições que avançam para a direita linha a linha; os pivôs não precisam ser 1.]
Passo 4
Observação importante (prévia ao contraexemplo): a forma escalonada reduzida (forma escalonada por linhas reduzida, RREF) impõe condições extras:
Cada pivô é 1.
Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô).
Uma propriedade muito conhecida e útil é:
Teorema (sem demonstração completa aqui, mas com ideia): para cada matriz existe uma única matriz em forma escalonada reduzida que é equivalente por linhas a ela. Ou seja, a RREF é única.
Essa unicidade vale para a forma escalonada reduzida, mas atenção: a afirmação do enunciado fala apenas em “forma escalonada” (não reduzida). Portanto precisamos verificar a unicidade nessa classe mais ampla.
Passo 5
Estratégia para decidir verdadeiro/falso: encontrar um contraexemplo se a afirmação for falsa. Vou mostrar uma matriz e duas matrizes diferentes em forma escalonada, ambas obtidas por operações de linha a partir da matriz original. Isso prova que a forma escalonada (não reduzida) não é necessariamente única.
Considere a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
Vamos obter duas matrizes diferentes em forma escalonada, ambas equivalentes por linhas a A.
Primeiro caminho:
Aplicar R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Isso elimina a segunda linha:
A matriz \begin{pmatrix}2 & 2\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} também está em forma escalonada.
Note que ambas as matrizes finais são obtidas a partir de A por operações elementares de linha, portanto ambas são equivalentes por linhas a A. Porém são matrizes distintas:
Logo existe mais de uma matriz em forma escalonada equivalente por linhas a A. Assim a forma escalonada (sem exigência de reduzida) NÃO é única em geral.]
Passo 6
Interpretação didática e generalização (pra você aplicar na prova):
O que permitiu a não unicidade no exemplo? A possibilidade de escalar linhas por constantes não nulas. A forma escalonada permite pivôs com qualquer valor não-nulo; multiplicar uma linha por um escalar muda o valor do pivô, gerando outra matriz ainda em forma escalonada e ainda equivalente por linhas.
Em termos práticos de prova: se o enunciado pede “forma escalonada” sem qualificação, não se pode afirmar unicidade — basta um contraexemplo como o acima.
Se o enunciado dissesse “forma escalonada reduzida”, aí sim seria único: a RREF é única para cada matriz. Então atenção ao detalhe “reduzida” — é isso que muda tudo.
Passo 7
Resumo final para decorar e usar na prova:
“Forma escalonada” (não reduzida): pode haver várias matrizes diferentes em forma escalonada equivalentes por linhas a uma dada matriz. Portanto, NÃO é única.
“Forma escalonada reduzida” (RREF): existe exatamente uma por classe de equivalência por linhas; a RREF é única.
Fica a dica: na prova, se te pedirem “a única forma escalonada”, questione se não queriam dizer “forma escalonada reduzida”; se não, use um contraexemplo como o que mostrei para responder falso e justificar.