Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
Cada matriz é equivalente por linhas a uma única matriz na forma escalonada.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Cada matriz é equivalente por linhas a uma única matriz na forma escalonada.”
Informações dadas:
  • A afirmação fala sobre equivalência por linhas (ou seja, transformações por operações elementares de linha).
  • A afirmação se refere à forma escalonada (sem especificar “reduzida”).
O objetivo imediato: decidir verdadeiro/falso e justificar de forma didática e passo a passo.

Passo 2

O que significa “equivalente por linhas” e quais operações são permitidas?
  • Duas matrizes A e B são equivalentes por linhas se é possível obter B a partir de A aplicando uma sequência finita de operações elementares de linha.
  • As operações elementares de linha são:
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não-nulo: R_i \leftarrow c\,R_i com c \neq 0;
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + c\,R_j.
Essas operações são todas invertíveis (cada uma tem uma operação inversa do mesmo tipo), por isso a relação “é equivalente por linhas” é de fato uma equivalência.

Passo 3

Definição clara de “forma escalonada” (não reduzida):
Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz:
  • Todas as linhas que são totalmente zero (se houver) estão abaixo das linhas não nulas.
  • Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de entrada principal ou pivô) fica estritamente à direita do pivô da linha imediatamente acima.
  • Não é exigido que os pivôs sejam 1 nem que sejam os únicos elementos não nulos em sua coluna (essas exigências pertencem à forma escalonada reduzida).
Exemplo de matriz em forma escalonada:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Aqui os pivôs estão em posições que avançam para a direita linha a linha; os pivôs não precisam ser 1.]

Passo 4

Observação importante (prévia ao contraexemplo): a forma escalonada reduzida (forma escalonada por linhas reduzida, RREF) impõe condições extras:
  • Cada pivô é 1.
  • Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô).
    Uma propriedade muito conhecida e útil é:
  • Teorema (sem demonstração completa aqui, mas com ideia): para cada matriz existe uma única matriz em forma escalonada reduzida que é equivalente por linhas a ela. Ou seja, a RREF é única.
Essa unicidade vale para a forma escalonada reduzida, mas atenção: a afirmação do enunciado fala apenas em “forma escalonada” (não reduzida). Portanto precisamos verificar a unicidade nessa classe mais ampla.

Passo 5

Estratégia para decidir verdadeiro/falso: encontrar um contraexemplo se a afirmação for falsa. Vou mostrar uma matriz e duas matrizes diferentes em forma escalonada, ambas obtidas por operações de linha a partir da matriz original. Isso prova que a forma escalonada (não reduzida) não é necessariamente única.
Considere a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
Vamos obter duas matrizes diferentes em forma escalonada, ambas equivalentes por linhas a A.
Primeiro caminho:
  • Aplicar R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Isso elimina a segunda linha:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} \overset{R_2\leftarrow R_2-2R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
A matriz \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} está em forma escalonada.
Segundo caminho:
  • Primeiro multiplicar a primeira linha por 2: R_1 \leftarrow 2R_1. Obtém-se
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} \overset{R_1\leftarrow 2R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
  • Depois aplicar R_2 \leftarrow R_2 - R_1:
\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} \overset{R_2\leftarrow R_2-R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
A matriz \begin{pmatrix}2 & 2\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} também está em forma escalonada.
Note que ambas as matrizes finais são obtidas a partir de A por operações elementares de linha, portanto ambas são equivalentes por linhas a A. Porém são matrizes distintas:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Logo existe mais de uma matriz em forma escalonada equivalente por linhas a A. Assim a forma escalonada (sem exigência de reduzida) NÃO é única em geral.]

Passo 6

Interpretação didática e generalização (pra você aplicar na prova):
  • O que permitiu a não unicidade no exemplo? A possibilidade de escalar linhas por constantes não nulas. A forma escalonada permite pivôs com qualquer valor não-nulo; multiplicar uma linha por um escalar muda o valor do pivô, gerando outra matriz ainda em forma escalonada e ainda equivalente por linhas.
  • Em termos práticos de prova: se o enunciado pede “forma escalonada” sem qualificação, não se pode afirmar unicidade — basta um contraexemplo como o acima.
  • Se o enunciado dissesse “forma escalonada reduzida”, aí sim seria único: a RREF é única para cada matriz. Então atenção ao detalhe “reduzida” — é isso que muda tudo.

Passo 7

Resumo final para decorar e usar na prova:
  • “Forma escalonada” (não reduzida): pode haver várias matrizes diferentes em forma escalonada equivalentes por linhas a uma dada matriz. Portanto, NÃO é única.
  • “Forma escalonada reduzida” (RREF): existe exatamente uma por classe de equivalência por linhas; a RREF é única.
Fica a dica: na prova, se te pedirem “a única forma escalonada”, questione se não queriam dizer “forma escalonada reduzida”; se não, use um contraexemplo como o que mostrei para responder falso e justificar.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados