Seja \alpha um número real e defina a matriz T_{\alpha} por
T_{\alpha}=\left[\begin{array}{cc} \cos (\alpha) & -\operatorname{sen}(\alpha) \\\ \operatorname{sen}(\alpha) & \cos (\alpha) \end{array}\right] .
T_{-\alpha}=T_{\alpha}{ }^{t}. (sugestão: pesquise sobre função par e função impar e faça um resumo aqui)

Passo 1

O enunciado nos dá, para todo número real \alpha, a matriz
T_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\[4pt] \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}
e pede verificar a igualdade
T_{-\alpha}=T_{\alpha}^{t}.
Também foi sugerido pesquisar sobre função par e função ímpar e fazer um resumo; portanto será necessário usar propriedades de paridade de \cos e \sin. Informações dadas e pedido, resumindo:
  • Dado: \;T_{\alpha} conforme acima, para todo \alpha\in\mathbb{R}.
  • Pedido: mostrar que \;T_{-\alpha}=T_{\alpha}^{t}.
  • Pedido adicional: resumir o conceito de função par e função ímpar (usar esse resumo na demonstração).]

Passo 2

Definição e ideia de função par e função ímpar (resumo didático e curto).
  • Uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é chamada de função par se, para todo x\in\mathbb{R},
f(-x)=f(x).
Intuitivamente: o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical.
  • Uma função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é chamada de função ímpar se, para todo x\in\mathbb{R},
g(-x)=-g(x).
Intuitivamente: o gráfico tem simetria central em relação à origem (rodando 180°).
  • Exemplos simples:
    • f(x)=x^2 é par, pois (-x)^2 = x^2.
    • g(x)=x^3 é ímpar, pois (-x)^3 = -x^3.
  • Essas propriedades são úteis porque permitem trocar o sinal do argumento sem ter que recalcular a função inteira.

Passo 3

Propriedade de paridade de \cos e \sin (explicação e justificativa simples).
  • Para o cosseno vale
\cos(-\alpha)=\cos(\alpha),
ou seja, \cos é uma função par.
  • Para o seno vale
\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha),
ou seja, \sin é uma função ímpar.
  • Justificação geométrica rápida (intuitiva): no círculo trigonométrico o cosseno é a abscissa do ponto associado ao ângulo; abscissas de ângulos \alpha e -\alpha coincidem, logo \cos(-\alpha)=\cos\alpha. O seno é a ordenada; ordenadas mudam de sinal ao refletir em relação ao eixo x, logo \sin(-\alpha)=-\sin\alpha.
  • Essas igualdades são exatamente aplicações do conceito de funções par e ímpar.

Passo 4

Escrever explicitamente T_{-\alpha} usando as paridades de \cos e \sin.
Começamos pela definição, substituindo -\alpha no lugar de \alpha:
T_{-\alpha}=\begin{pmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\\[4pt] \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) \end{pmatrix}.
Agora aplicamos as propriedades \cos(-\alpha)=\cos(\alpha) e \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha). Então cada entrada se transforma:
  • \cos(-\alpha)=\cos(\alpha).
  • -\sin(-\alpha) = -\bigl(-\sin(\alpha)\bigr)=\sin(\alpha).
  • \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha).
  • \cos(-\alpha)=\cos(\alpha) (já citado).
    Portanto
T_{-\alpha}=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha)\\[4pt] -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular explicitamente a transposta T_{\alpha}^{t} e comparar entrada a entrada.
A transposta de uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix}
é
\begin{pmatrix} a & c\\[4pt] b & d \end{pmatrix},
ou seja, trocam-se as posições dos elementos fora da diagonal principal. Aplicando isso a T_{\alpha}:
T_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\[4pt] \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad T_{\alpha}^{t}=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha)\\[4pt] -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}.]

Passo 6

Concluir comparando os resultados dos passos anteriores.
Dos passos 4 e 5 obtemos exatamente a mesma matriz:
T_{-\alpha}=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha)\\[4pt] -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} = T_{\alpha}^{t}.
Logo a igualdade pedida está demonstrada.]

Passo 7

Comentário didático extra (útil para prova — lembrete rápido).
  • A demonstração essencialmente usa só a paridade de \cos e \sin e a definição de transposta: quando precisar em prova, escreva as duas matrizes (uma com -\alpha e outra com transposta) e compare as entradas.
  • Observação adicional (opcional): T_{\alpha} é a matriz de rotação no plano de ângulo \alpha; por isso T_{\alpha}^{t}=T_{\alpha}^{-1}=T_{-\alpha}. Mas para a prova só é necessário mostrar a igualdade entrada a entrada como fizemos.

Resposta

T_{-\alpha}=T_{\alpha}^{t}.

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