Seja
um número real e defina a matriz
por
. (sugestão: pesquise sobre função par e função impar e faça um resumo aqui)
Passo 1
O enunciado nos dá, para todo número real
, a matriz
e pede verificar a igualdade
Também foi sugerido pesquisar sobre função par e função ímpar e fazer um resumo; portanto será necessário usar propriedades de paridade de
e
. Informações dadas e pedido, resumindo:
- Dado:
conforme acima, para todo . - Pedido: mostrar que
. - Pedido adicional: resumir o conceito de função par e função ímpar (usar esse resumo na demonstração).]
Passo 2
Definição e ideia de função par e função ímpar (resumo didático e curto).
- Uma função
é chamada de função par se, para todo ,
Intuitivamente: o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical.
- Uma função
é chamada de função ímpar se, para todo ,
Intuitivamente: o gráfico tem simetria central em relação à origem (rodando 180°).
- Exemplos simples:
-
é par, pois . -
é ímpar, pois .
-
- Essas propriedades são úteis porque permitem trocar o sinal do argumento sem ter que recalcular a função inteira.
Passo 3
Propriedade de paridade de
e
(explicação e justificativa simples).
- Para o cosseno vale
ou seja,
é uma função par.
- Para o seno vale
ou seja,
é uma função ímpar.
- Justificação geométrica rápida (intuitiva): no círculo trigonométrico o cosseno é a abscissa do ponto associado ao ângulo; abscissas de ângulos
e coincidem, logo . O seno é a ordenada; ordenadas mudam de sinal ao refletir em relação ao eixo , logo . - Essas igualdades são exatamente aplicações do conceito de funções par e ímpar.
Passo 4
Escrever explicitamente
usando as paridades de
e
.
Começamos pela definição, substituindo no lugar de
:
Começamos pela definição, substituindo
Agora aplicamos as propriedades
e
. Então cada entrada se transforma:
-
. -
. -
. -
(já citado).
Portanto
Passo 5
Calcular explicitamente a transposta
e comparar entrada a entrada.
A transposta de uma matriz
A transposta de uma matriz
é
ou seja, trocam-se as posições dos elementos fora da diagonal principal. Aplicando isso a
:
Passo 6
Concluir comparando os resultados dos passos anteriores.
Dos passos 4 e 5 obtemos exatamente a mesma matriz:
Dos passos 4 e 5 obtemos exatamente a mesma matriz:
Logo a igualdade pedida está demonstrada.]
Passo 7
Comentário didático extra (útil para prova — lembrete rápido).
- A demonstração essencialmente usa só a paridade de
e e a definição de transposta: quando precisar em prova, escreva as duas matrizes (uma com e outra com transposta) e compare as entradas. - Observação adicional (opcional):
é a matriz de rotação no plano de ângulo ; por isso . Mas para a prova só é necessário mostrar a igualdade entrada a entrada como fizemos.