Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
Se
é uma matrix ortogonal então
para todo vetor
.
Se
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pedido: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.
- Afirmação a avaliar: “Se
é uma matriz ortogonal então para todo vetor .” - Informação dada:
é uma matriz ortogonal (isto é todo o enunciado que podemos usar). - Observação importante: a igualdade deve valer para todo vetor
(qualquer do espaço apropriado, por exemplo se for ).
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar, sem pressa).
- Norma euclidiana de um vetor
: é definida por
Aqui
é o produto interno (produto escalar) de
por si mesmo; se
então
.
- Matriz ortogonal: uma matriz quadrada
é ortogonal se suas colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal, o que se caracteriza algebraicamente por
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Uma consequência útil é que
Passo 3
Estratégia da prova (curta): mostrar que os quadrados das normas são iguais, o que implica que as normas são iguais (ambas não negativas).
Explicação: em vez de comparar
com
diretamente, é mais simples trabalhar com os quadrados das normas porque
Se conseguirmos provar
para todo
, então tomando raízes não-negativas obtemos
.
Passo 4
Cálculo detalhado e passo a passo (sem pular nada).
Começamos com o quadrado da norma de
:
Agora use a propriedade da transposta do produto:
. Substituindo:
Como
é ortogonal temos
. Portanto
A multiplicação por
não altera o vetor, então
. Logo
Passo 5
Conclusão da igualdade das normas e pequenas observações.
- Como
e ambas normas são não-negativas, segue que
para todo vetor
. Portanto a afirmação é verdadeira.
-
Intuição geométrica (breve, amigável): uma matriz ortogonal representa uma transformação linear que preserva ângulos e comprimentos (por exemplo rotações e reflexões). Por isso, aplicar
não altera o comprimento de nenhum vetor. -
Observação extra útil para a prova: a propriedade mostrada também implica que
preserva o produto interno entre quaisquer dois vetores :
pois expandindo ambos os lados e usando
obtemos essa igualdade. Isso é outra maneira de ver que distâncias e ângulos são preservados.
Resposta
Verdadeira.