Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
Se Q é uma matrix ortogonal então \|Q x\|=\|x\| para todo vetor x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedido: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.
  • Afirmação a avaliar: “Se Q é uma matriz ortogonal então \|Q x\|=\|x\| para todo vetor x.”
  • Informação dada: Q é uma matriz ortogonal (isto é todo o enunciado que podemos usar).
  • Observação importante: a igualdade deve valer para todo vetor x (qualquer x do espaço apropriado, por exemplo x\in\mathbb{R}^n se Q for n\times n).

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar, sem pressa).
  • Norma euclidiana de um vetor x: \|x\| é definida por
\|x\| = \sqrt{x^T x}.
Aqui x^T x é o produto interno (produto escalar) de x por si mesmo; se x=(x_1,\dots,x_n)^T então x^T x = x_1^2+\cdots+x_n^2.
  • Matriz ortogonal: uma matriz quadrada Q é ortogonal se suas colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal, o que se caracteriza algebraicamente por
Q^T Q = I,
onde Q^T é a transposta de Q e I é a matriz identidade. Uma consequência útil é que
Q^{-1} = Q^T.

Passo 3

Estratégia da prova (curta): mostrar que os quadrados das normas são iguais, o que implica que as normas são iguais (ambas não negativas).
Explicação: em vez de comparar \|Qx\| com \|x\| diretamente, é mais simples trabalhar com os quadrados das normas porque
\|Qx\|^2 = (Qx)^T (Qx).
Se conseguirmos provar \|Qx\|^2 = \|x\|^2 para todo x, então tomando raízes não-negativas obtemos \|Qx\|=\|x\|.

Passo 4

Cálculo detalhado e passo a passo (sem pular nada).
Começamos com o quadrado da norma de Qx:
\|Qx\|^2 = (Qx)^T(Qx).
Agora use a propriedade da transposta do produto: (Qx)^T = x^T Q^T. Substituindo:
\|Qx\|^2 = x^T Q^T Q x.
Como Q é ortogonal temos Q^T Q = I. Portanto
\|Qx\|^2 = x^T I x.
A multiplicação por I não altera o vetor, então x^T I x = x^T x. Logo
\|Qx\|^2 = x^T x = \|x\|^2.

Passo 5

Conclusão da igualdade das normas e pequenas observações.
  • Como \|Qx\|^2 = \|x\|^2 e ambas normas são não-negativas, segue que
\|Qx\| = \|x\|
para todo vetor x. Portanto a afirmação é verdadeira.
  • Intuição geométrica (breve, amigável): uma matriz ortogonal representa uma transformação linear que preserva ângulos e comprimentos (por exemplo rotações e reflexões). Por isso, aplicar Q não altera o comprimento de nenhum vetor.
  • Observação extra útil para a prova: a propriedade mostrada também implica que Q preserva o produto interno entre quaisquer dois vetores x,y:
(Qx)\cdot(Qy) = x\cdot y,
pois expandindo ambos os lados e usando Q^T Q=I obtemos essa igualdade. Isso é outra maneira de ver que distâncias e ângulos são preservados.

Resposta

Verdadeira.

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