Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
Se Q Q^{T}=I então Q é uma matriz ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação: “Se Q Q^{T}=I então Q é uma matriz ortogonal.”
O que está explícito no enunciado:
  • Há uma matriz Q (o enunciado não diz explicitamente se Q é quadrada ou retangular nem sobre o corpo dos elementos, mas vamos trabalhar no caso usual de matrizes com entradas reais).
  • Está dada a igualdade matricial \,Q Q^{T}=I\, (onde I é a matriz identidade do tamanho compatível com o produto).
    O que é pedido:
  • Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem o que significa “matriz ortogonal”.
Definição e interpretação (passo a passo, devagarinho):
  • Uma matriz real Q\in\mathbb{R}^{n\times n} é chamada ortogonal se satisfaz
Q^{T}=Q^{-1}.
  • Isso é equivalente a qualquer (qualquer!) das igualdades
Q^{T}Q=I_{n}\qquad\text{ou}\qquad QQ^{T}=I_{n},
quando Q é quadrada n\times n. Em palavras: as colunas (e as linhas) de Q formam um sistema de vetores ortonormais em \mathbb{R}^{n}.
Observação importante: a definição de “matriz ortogonal” pressupõe que a matriz é quadrada. Se Q não for quadrada, normalmente não se usa o termo “ortogonal” para Q (pode-se falar em “matriz com linhas ortonormais” ou “matriz semi-ortogonal”, mas não “ortogonal” no sentido padrão).

Passo 3

Agora analisamos o caso em que Q é quadrada. Vou provar que, nesse caso, a hipótese \,Q Q^{T}=I\, implica que Q é ortogonal (ou seja, Q^{-1}=Q^{T}) — e faço passo a passo:
  1. Suponha Q\in\mathbb{R}^{n\times n} e Q Q^{T}=I_{n}.
  2. Tome determinante dos dois lados da igualdade:
\det(QQ^{T})=\det(I_{n})=1.
  1. Usando propriedades do determinante, \det(QQ^{T})=\det(Q)\det(Q^{T}). E \det(Q^{T})=\det(Q). Logo
\det(Q)^{2}=1.
  1. Daí \det(Q)\neq 0. Portanto Q é invertível.
  2. Como Q é invertível, multiplica-se a igualdade QQ^{T}=I à esquerda por Q^{-1}:
Q^{-1}(QQ^{T})=Q^{-1}I \quad\Rightarrow\quad (Q^{-1}Q)Q^{T}=Q^{-1}\quad\Rightarrow\quad I\;Q^{T}=Q^{-1}.
  1. Assim Q^{T}=Q^{-1}. Logo Q é ortogonal.
    Resumo desta parte: se Q é quadrada e QQ^{T}=I, então a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Agora o caso em que Q não é quadrada. Aqui a afirmação, tal como escrita, pode ser falsa: podemos ter QQ^{T}=I (identidade do tamanho das linhas) mesmo com Q retangular; essa condição apenas diz que as linhas de Q são ortonormais, mas Q não tem inversa (pois não é quadrada), então não pode ser chamada de “ortogonal” no sentido usual. Vou dar dois contraexemplos simples e explícitos:
  • Exemplo 1 (matriz 1\times 2):
Q=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}.
Aqui Q é 1\times2. Calcula-se
QQ^{T}=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}=I_{1}.
Portanto QQ^{T}=I, mas Q não é quadrada, logo não é uma matriz ortogonal (no sentido padrão).
  • Exemplo 2 (matriz 2\times3):
Q=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad QQ^{T}= \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=I_{2}.
De novo QQ^{T}=I, porém Q não é quadrada.
Esses exemplos mostram que a hipótese QQ^{T}=I sozinha não garante que Q seja ortogonal, a menos que também se saiba que Q é quadrada.]

Passo 5

Conclusão e dica prática para prova:
  • Se no enunciado estiver implícito (ou explícito) que Q é quadrada, então a afirmação é verdadeira: QQ^{T}=I implica Q^{T}=Q^{-1} e, portanto, Q é ortogonal.
  • Se não houver a hipótese de quadratura, a afirmação é falsa em geral — é preciso exigir que Q seja quadrada para concluir ortogonalidade. Na hora da prova, sempre verifique o tamanho da matriz antes de concluir que algo é ortogonal.

Resposta

Falso. A afirmação é verdadeira somente se Q for quadrada; sem essa hipótese é falsa (por exemplo, Q=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} satisfaz QQ^{T}=I mas não é ortogonal).

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