Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
Se
então
é uma matriz ortogonal.
Se
Passo 1
O enunciado dá a afirmação: “Se
então
é uma matriz ortogonal.”
O que está explícito no enunciado:
O que está explícito no enunciado:
- Há uma matriz
(o enunciado não diz explicitamente se é quadrada ou retangular nem sobre o corpo dos elementos, mas vamos trabalhar no caso usual de matrizes com entradas reais). - Está dada a igualdade matricial
(onde é a matriz identidade do tamanho compatível com o produto).
O que é pedido: - Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem o que significa “matriz ortogonal”.
Definição e interpretação (passo a passo, devagarinho):
Definição e interpretação (passo a passo, devagarinho):
- Uma matriz real
é chamada ortogonal se satisfaz
- Isso é equivalente a qualquer (qualquer!) das igualdades
quando
é quadrada
. Em palavras: as colunas (e as linhas) de
formam um sistema de vetores ortonormais em
.
Observação importante: a definição de “matriz ortogonal” pressupõe que a matriz é quadrada. Se não for quadrada, normalmente não se usa o termo “ortogonal” para
(pode-se falar em “matriz com linhas ortonormais” ou “matriz semi-ortogonal”, mas não “ortogonal” no sentido padrão).
Observação importante: a definição de “matriz ortogonal” pressupõe que a matriz é quadrada. Se
Passo 3
Agora analisamos o caso em que
é quadrada. Vou provar que, nesse caso, a hipótese
implica que
é ortogonal (ou seja,
) — e faço passo a passo:
- Suponha
e . - Tome determinante dos dois lados da igualdade:
- Usando propriedades do determinante,
. E . Logo
- Daí
. Portanto é invertível. - Como
é invertível, multiplica-se a igualdade à esquerda por :
- Assim
. Logo é ortogonal.
Resumo desta parte: seé quadrada e , então a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Agora o caso em que
não é quadrada. Aqui a afirmação, tal como escrita, pode ser falsa: podemos ter
(identidade do tamanho das linhas) mesmo com
retangular; essa condição apenas diz que as linhas de
são ortonormais, mas
não tem inversa (pois não é quadrada), então não pode ser chamada de “ortogonal” no sentido usual. Vou dar dois contraexemplos simples e explícitos:
- Exemplo 1 (matriz
):
Aqui
é
. Calcula-se
Portanto
, mas
não é quadrada, logo não é uma matriz ortogonal (no sentido padrão).
- Exemplo 2 (matriz
):
De novo
, porém
não é quadrada.
Esses exemplos mostram que a hipótese sozinha não garante que
seja ortogonal, a menos que também se saiba que
é quadrada.]
Esses exemplos mostram que a hipótese
Passo 5
Conclusão e dica prática para prova:
- Se no enunciado estiver implícito (ou explícito) que
é quadrada, então a afirmação é verdadeira: implica e, portanto, é ortogonal. - Se não houver a hipótese de quadratura, a afirmação é falsa em geral — é preciso exigir que
seja quadrada para concluir ortogonalidade. Na hora da prova, sempre verifique o tamanho da matriz antes de concluir que algo é ortogonal.
Resposta
Falso. A afirmação é verdadeira somente se
for quadrada; sem essa hipótese é falsa (por exemplo,
satisfaz
mas não é ortogonal).