Aplique o processo de Gram-Schmidt nos seguintes conjuntos de vetores
.
Passo 1
O enunciado fornece três vetores em
e pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt sobre eles. Os vetores dados são:
O que se quer obter é um conjunto ortogonal (ou ortonormal) gerado por esses vetores, usando o algoritmo de Gram–Schmidt.
Passo 2
Rápida explicação do método (aula prática):
- Produto interno padrão em
: para e ,
- Projeção de um vetor
sobre um vetor não-nulo :
Aqui
é um número (o produto interno) e
é o quadrado da norma de
.
- Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais
a partir de por:
Depois, se quiser uma base ortonormal, normaliza-se cada
dividindo por
para obter
.
Passo 3
Construção do primeiro vetor ortogonal e sua normalização:
Calcular
(o quadrado da norma):
A norma é
. O primeiro vetor ortonormal é
Passo 4
Construção do segundo vetor ortogonal:
Calcular a projeção de sobre
. Primeiro o produto interno:
Calcular a projeção de
Como
, temos
Então
Calcular
:
Então
. O vetor ortonormal correspondente é
(Observe que factorizando
fica bem compacto.)]
Passo 5
Construção do terceiro vetor ortogonal:
Primeiro, projeção de sobre
. Calcular produto interno:
Primeiro, projeção de
Portanto
.
Agora projeção de
sobre
. Produto interno:
E
, logo
Assim
Calcular
:
Portanto
. O vetor ortonormal é
Passo 6
Verificação rápida (só para ganhar confiança):
Portanto
é realmente um conjunto ortonormal.