Aplique o processo de Gram-Schmidt nos seguintes conjuntos de vetores
v_{1}=(1,-1,0)^{T} ; \quad v_{2}=(0,1,-1)^{T} ; \quad v_{3}=(1,1,-1)^{T}.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt sobre eles. Os vetores dados são:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\qquad v_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
O que se quer obter é um conjunto ortogonal (ou ortonormal) gerado por esses vetores, usando o algoritmo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Rápida explicação do método (aula prática):
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^3: para x=(x_1,x_2,x_3)^T e y=(y_1,y_2,y_3)^T,
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
  • Projeção de um vetor v sobre um vetor não-nulo u:
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Aqui \langle v,u\rangle é um número (o produto interno) e \langle u,u\rangle=\|u\|^2 é o quadrado da norma de u.
  • Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais u_1,u_2,u_3 a partir de v_1,v_2,v_3 por:
\begin{aligned} u_1&=v_1,\\\ u_2&=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2),\\\ u_3&=v_3-\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)-\operatorname{proj}_{u_2}(v_3). \end{aligned}
Depois, se quiser uma base ortonormal, normaliza-se cada u_i dividindo por \|u_i\| para obter e_i=u_i/\|u_i\|.

Passo 3

Construção do primeiro vetor ortogonal e sua normalização:
u_1=v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
Calcular \langle u_1,u_1\rangle (o quadrado da norma):
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+(-1)^2+0^2 = 2.
A norma é \|u_1\|=\sqrt{2}. O primeiro vetor ortonormal é
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Construção do segundo vetor ortogonal:
Calcular a projeção de v_2 sobre u_1. Primeiro o produto interno:
\langle v_2,u_1\rangle = 0\cdot1 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot0 = -1.
Como \langle u_1,u_1\rangle=2, temos
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{-1}{2}\,u_1=\frac{-1}{2}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Então
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Calcular \langle u_2,u_2\rangle:
\langle u_2,u_2\rangle = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+(-1)^2=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{3}{2}.
Então \|u_2\|=\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}. O vetor ortonormal correspondente é
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt]-\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}.
(Observe que factorizando 1/\sqrt{6} fica bem compacto.)]

Passo 5

Construção do terceiro vetor ortogonal:
Primeiro, projeção de v_3 sobre u_1. Calcular produto interno:
\langle v_3,u_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot0 = 0.
Portanto \operatorname{proj}_{u_1}(v_3)=0.
Agora projeção de v_3 sobre u_2. Produto interno:
\langle v_3,u_2\rangle = 1\cdot\tfrac{1}{2} + 1\cdot\tfrac{1}{2} + (-1)\cdot(-1) = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+1=2.
E \langle u_2,u_2\rangle=\tfrac{3}{2}, logo
\operatorname{proj}_{u_2}(v_3)=\frac{2}{\tfrac{3}{2}}\,u_2=\frac{4}{3}\,u_2 =\frac{4}{3}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}.
Assim
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3) = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{4}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Calcular \langle u_3,u_3\rangle:
\langle u_3,u_3\rangle = \left(\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{3}.
Portanto \|u_3\|=\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. O vetor ortonormal é
e_3=\frac{u_3}{\|u_3\|}=\sqrt{3}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (só para ganhar confiança):
  • \langle e_1,e_2\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{6}} + \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{6}} + 0 = 0.
  • \langle e_1,e_3\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} + 0 = 0.
  • \langle e_2,e_3\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{6}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \left(-\dfrac{2}{\sqrt{6}}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} = 0.
Portanto \{e_1,e_2,e_3\} é realmente um conjunto ortonormal.

Resposta

u_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad u_2=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad u_3=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}
e_1=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt]-\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\]

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